Diferencia entre revisiones de «Operaciones con polinomios»
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Línea 39:
: <math> P(2) = 9 \,</math>
Dados dos polinomios:
: <math>P(x) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i}</math>
: <math>Q(x) = \sum_{i = 0}^{n} b_{i} x^{i}</math>
de grado n, se dice que son iguales si los coeficientes de los monomios de igual grado son iguales, esto es, si:
: <math> \forall_{i=1}^{n} a_i = b_i </math>
*Ejemplo:
: <math> P(x) = 5 x^{3} - x^{2} + 5 x - 4\,</math>
: <math> Q(x) = 5 x +5 x^{3} - 4 - x^{2} \,</math>
en este caso:
: <math> P(x) = Q(x) \,</math>
== Polinomio opuesto ==
Dados dos polinomios:
: <math>P(x) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i}</math>
: <math>Q(x) = \sum_{i = 0}^{n} b_{i} x^{i}</math>
de grado n, se dice que son opuestos y se representa:
: <math> P(x) = -Q(x) \,</math>
si los coeficientes de los monomios de igual grado son de distinto signo (opuestos), esto es:
: <math> \forall_{i=1}^{n} {a_i} = {- b_i} </math>
*Ejemplo:
: <math> P(x) = - 3 x^{4} + 5 x^{3} - 10 x^{2} + 2,3 x - 6 \,</math>
: <math> Q(x) = + 3 x^{4} - 5 x^{3} + 10 x^{2} - 2,3 x + 6 \,</math>
los polinomios P(x) y Q(x) son opuestos.
== Adición de polinomios ==
La suma de polinomios es una operación, en la que partiendo de dos polinomios P(x) y Q(x), obtenemos un tercero R(x), que es la suma de los dos anteriores, R(x) tiene por coeficiente de cada monomio el de la suma de los coeficientes de los monomios de P(x) y Q(x) del mismo grado.
Dados los dos polinomios P(x) y Q(x):
: <math> P(x) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i} </math>
: <math> Q(x) = \sum_{i = 0}^{n} b_{i} x^{i} </math>
el polinomio suma R(x), será:
: <math> R(x) = P(x) + Q(x) \,</math>
que es lo mismo que:
: <math> R(x) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i} + \sum_{i = 0}^{n} b_{i} x^{i} </math>
sacando factor común a las potencias de x en cada monomio:
: <math> R(x) = \sum_{i = 0}^{n} (a_{i} + b_{i}) x^{i} </math>
* Ejemplo:
Escribiendo los polinomios de modo que los monomios de igual grado estén alineados verticalmente, la suma de los polinomios es el polinomio resultante de sumar las coeficientes de los monomios del mismo grado, como se ve en el ejemplo.
: <math>
\begin{array}{rrrrrrrr}
& 3x^6 & -2x^5 & +8x^4 & +8x^3 & -3x^2 & +7x & +1 \\
+ & & +4x^5 & +x^4 & +9x^3 & -12x^2 & +6x & -5 \\
\hline
& 3x^6 & +2x^5 & +9x^4 & +17x^3 & -15x^2 & +13x & -4 \\
\end{array}
</math>
== Multiplicación de polinomios ==
===Multiplicación de un polinomio por un escalar ===
Partiendo de un polinomio P(x), el producto de este polinomio por un escalar k, es un polinomio k P(x), en el cual cada uno de los coeficientes de los del polinomio se ha multiplicado por k.
Si el polinomio es:
: <math>P(x) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} \, x^{i}</math>
Línea 134 ⟶ 187:
donde se multiplica cada uno de los monomios del polinomio P(x) por el monomio M(x)
=== Multiplicación de dos polinomios ===
Dados dos polinomios P(x) de grado n y Q(x) de grado m, el producto de estos dos polinomios P(x) * Q(x) que será un polinomio de grado n + m, así si:
: <math>P(x) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i}</math>
: <math>Q(x) = \sum_{j = 0}^{m} b_{j} x^{j}</math>
entonces:
: <math> P(x) \cdot Q(x) = \Big( \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i} \Big) \cdot \Big( \sum_{j = 0}^{m} b_{j} x^{j} \Big) </math>
aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación:
: <math> P(x) \cdot Q(x) = \sum_{i = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{m} ( a_{i} x^{i} ) \cdot ( b_{j} x^{j} ) </math>
agrupando términos:
: <math> P(x) \cdot Q(x) = \sum_{i = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{m} a_{i} b_{j} x^{i} x^{j} </math>
operando potencias de la misma base:
: <math> P(x) \cdot Q(x) = \sum_{i = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{m} a_{i} b_{j} x^{i+j} </math>
* Ejemplo:
vamos a multiplicar los polinomios:
: <math>P(x) = - 2 \, x^{3} + 5 \, x^{2} + 6 \, x - 3 </math>
: <math>Q(x) = 3 \, x^{2} + x - 4</math>
el producto de los polinomios P(x) * Q(x):
{{ecuación| <math>
\begin{array}{rrrrrrrr}
& & -2x^3 & +5x^2 & +6x & -3 \\
& & \times & 3x^2 & +x & -4 \\
\hline
\end{array}
</math>}}
lo realizaremos paso a paso, multiplicando P(x) por cada uno de los monomios de Q(X), sumando después el resultado, así en primer lugar haremos la multiplicación:
: <math>P(x) \cdot ( - 4) = (- 2 \, x^{3} + 5 \, x^{2} + 6 \, x - 3) \cdot ( - 4) </math>
que resulta:
{{ecuación| <math>
\begin{array}{rrrrrrrr}
& & -2x^3 & +5x^2 & +6x & -3 \\
& & \times & 3x^2 & +x & -4 \\
\hline
& & 8x^3 & -20x^2 & -24x & +12 \\
\end{array}
</math>}}
ahora multiplicamos P(x) por el segundo monomio de Q(x), x:
: <math>P(x) \cdot x = (- 2 \, x^{3} + 5 \, x^{2} + 6 \, x - 3) \cdot x </math>
al realizar la operación se colocan los resultados alineados verticalmente según las potencias de x, del siguiente modo:
{{ecuación| <math>
\begin{array}{rrrrrrrr}
& & -2x^3 & +5x^2 & +6x & -3 \\
& & \times & 3x^2 & +x & -4 \\
\hline
& & 8x^3 & -20x^2 & -24x & +12 \\
& -2x^4& +5x^3 & +6x^2 & -3x & \\
\end{array}
</math>}}
hacemos lo mismo con el tercer monomio de Q(x):
: <math>P(x) \cdot 3 \, x^{2} = (- 2 \, x^{3} + 5 \, x^{2} + 6 \, x - 3) \cdot 3 \, x^{2} </math>
lo que resulta:
{{ecuación| <math>
\begin{array}{rrrrrrrr}
& & -2x^3 & +5x^2 & +6x & -3 \\
& & \times & 3x^2 & +x & -4 \\
\hline
& & 8x^3 & -20x^2 & -24x & +12 \\
& -2x^4& +5x^3 & +6x^2 & -3x & \\
-6x^5 & +15x^4 & +18x^3 & -9x^2 & & \\
\end{array}
</math>}}
hechas ya las multiplicaciones de P(x) por cada uno de los monomios de Q(x), hacemos la suma de los productos parciales, según las distintas potencias de x, con lo que obtenemos el resultado:
{{ecuación| <math>
\begin{array}{rrrrrrrr}
& & -2x^3 & +5x^2 & +6x & -3 \\
& & \times & 3x^2 & +x & -4 \\
\hline
& & 8x^3 & -20x^2 & -24x & +12 \\
& -2x^4& +5x^3 & +6x^2 & -3x & \\
-6x^5 & +15x^4 & +18x^3 & -9x^2 & & \\
\hline
-6x^5 & +13x^4 & +31x^3 & -23x^2 & -27x & +12
\end{array}
</math>}}
este polinomio de 5º grado es el producto de P(x) de 3º grado y Q(x) de 2º grado.
== División de polinomios ==
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