Diferencia entre revisiones de «Límite de una sucesión»
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para cada <math>x\in [0,1]</math> fijo.
=== Convergencia uniforme ===
Una sucesión de funciones <math>f_n:S\to M</math> definidas en un conjunto no vacío <math>S\,</math> con valores en un espacio métrico <math>(M,d\,)</math> ''converge uniformemente'' a una función <math>f:S\to M</math> si para todo <math>\varepsilon>0</math> existe un entero <math>N\,</math> (que depende de <math>\varepsilon</math>) tal que
{{Ecuación|<math> d(f_n(x),f(x)) < \varepsilon </math>|}}
para todo <math>x\in S</math> y todo <math>n \ge N</math>. Es decir,
{{Ecuación|<math>\forall \varepsilon>0\quad \exist\, N\in \mathbb N\quad |\quad d(f_n(x),f(x)) < \varepsilon\quad \forall x\in S\quad \forall n\ge N.</math>|6}}
El concepto de '''convergencia uniforme''' es un concepto más fuerte que el de '''convergencia puntual'''. En {{Eqnref|5}}, <math>N\,</math> puede depender de <math>\varepsilon</math> '''y''' de <math>x\,</math> mientras que en {{Eqnref|6}}, <math>N\,</math> '''sólo''' puede depender de <math>\varepsilon</math>. Así, toda sucesión que converge uniformemente, converge puntualmente. El enunciado recíproco es falso, y un contraejemplo clásico lo constituyen las sucesión de funciones <math>f_n:[0,1]\to \mathbb R</math> definidas por <math>f_n(x) = x^n\,</math>. Esta sucesión converge puntualmente a la función
{{Ecuación|<math>f(x) = \begin{cases} 0, & \mbox{si}\quad 0\le x < 1 \\ 1, & \mbox{si}\quad x=1 \end{cases}</math>|}}
ya que
{{Ecuación|<math> |f_n(x)-f(x)| = |x^n| \to 0 \quad \mbox{si}\quad 0\le x < 1</math>|}}
mientras que <math> \vert f_n(1)-f(1)\vert = 0.</math> Sin embargo esta sucesión no converge uniformemente, pues para <math>\varepsilon=1/4,</math> no existe un <math>N\,</math> que satisfaga {{Eqnref|5}}.
De especial interés es el espacio de las funciones continuas <math>C(\Omega)\,</math> definidas sobre un compacto <math>\Omega\subset \mathbb R^n.</math> En este caso, una sucesión de funciones <math>f_n\in C(\Omega),\,</math> converge uniformemente a una función <math>f\in C(\Omega),\,</math> si, y sólo si, converge en la norma del sup, i.e.,
{{Ecuación|<math>f_n \stackrel{u}{\longrightarrow}\ f \quad \Longleftrightarrow \quad f_n \stackrel{
\Vert \cdot\Vert}{\longrightarrow}\ f</math>|}}
=== Convergencia uniforme sobre compactos ===
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