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Diferencia entre revisiones de «Límite de una sucesión»

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== Definición ==
 
Una sucesión de elementos <math>\{x_n\}\,</math> de un [[espacio métrico]] <math>(M,d\,)</math> '''converge''' a un elemento <math>x\in M</math> si para todo número <math>\varepsilon> 0,</math> existe un entero positivo <math>N \,</math> (que depende de <math>\varepsilon</math>) tal que
 
{{Ecuación|<math> n\ge N \quad \Longrightarrow \quad d(x_n,x) < \varepsilon.</math>|1}}
 
En tal caso, se acostumbra escribir {{Ecuación|<math> \lim_{n \to \infty} x_n = x</math>|}}▼
En tal caso, se acostumbra escribir
o también{{Ecuación|<math> x_n\ \stackrel{d}{\longrightarrow}\ x \quad \mbox{cuando} \quad n \to \infty </math>|}}▼
 
o simplemente{{Ecuación|<math> x_n \to x.</math>|}}▼
▲En tal caso, se acostumbra escribir {{Ecuación|<math> \lim_{n \to \infty} x_n = x</math>|}}
Intuitivamente, esto significa que los elementos <math>x_n\,</math> de la sucesión se pueden hacer ''arbitrariamente cercanos'' a <math>x\,</math> si <math>n\,</math> es ''suficientemente grande'', ya que <math>d(x_n,x\,)</math> ''determina'' la distancia entre <math>x_n\,</math> y <math>x\,</math>. A partir de la definición es posible demostrar que si una sucesión converge, lo hace hacia un único límite.La definición se aplica en particular a los [[Espacio vectorial normado|espacios vectoriales normados]] y a los [[Espacio prehilbertiano|espacios con producto interno]]. En el caso de un espacio normado <math>(E,\Vert \cdot\Vert),</math> la norma <math>\Vert \cdot\Vert</math> induce la métrica <math>d(x,y):=\Vert y - x\Vert</math> para cada <math>x,y\in E</math>; en el caso de un espacio con producto interno <math>(E,\langle \cdot, \cdot\rangle),</math> el producto interno <math>\langle \cdot, \cdot\rangle</math> induce la norma <math>\Vert x\Vert = \sqrt{\langle x, x\rangle}</math> para cada <math>x\in E.</math>▼
 
o también
 
▲o también{{Ecuación|<math> x_n\ \stackrel{d}{\longrightarrow}\ x \quad \mbox{cuando} \quad n \to \infty </math>|}}
 
o simplemente
 
▲o simplemente{{Ecuación|<math> x_n \to x.</math>|}}
 
Intuitivamente, esto significa que los elementos <math>x_n\,</math> de la sucesión se pueden hacer ''arbitrariamente cercanos'' a <math>x\,</math> si <math>n\,</math> es ''suficientemente grande'', ya que <math>d(x_n,x\,)</math> ''determina'' la distancia entre <math>x_n\,</math> y <math>x\,</math>. A partir de la definición es posible demostrar que si una sucesión converge, lo hace hacia un único límite.
 
▲Intuitivamente, esto significa que los elementos <math>x_n\,</math> de la sucesión se pueden hacer ''arbitrariamente cercanos'' a <math>x\,</math> si <math>n\,</math> es ''suficientemente grande'', ya que <math>d(x_n,x\,)</math> ''determina'' la distancia entre <math>x_n\,</math> y <math>x\,</math>. A partir de la definición es posible demostrar que si una sucesión converge, lo hace hacia un único límite.La definición se aplica en particular a los [[Espacio vectorial normado|espacios vectoriales normados]] y a los [[Espacio prehilbertiano|espacios con producto interno]]. En el caso de un espacio normado <math>(E,\Vert \cdot\Vert),</math> la norma <math>\Vert \cdot\Vert</math> induce la métrica <math>d(x,y):=\Vert y - x\Vert</math> para cada <math>x,y\in E</math>; en el caso de un espacio con producto interno <math>(E,\langle \cdot, \cdot\rangle),</math> el producto interno <math>\langle \cdot, \cdot\rangle</math> induce la norma <math>\Vert x\Vert = \sqrt{\langle x, x\rangle}</math> para cada <math>x\in E.</math>
 
== Ejemplos ==
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