Diferencia entre revisiones de «Número complejo»
Contenido eliminado Contenido añadido
Sin resumen de edición |
m Revertidos los cambios de 200.85.218.65 a la última edición de Micael 3a |
||
Línea 1:
[[Archivo:Complex conjugate picture.svg|thumb|Ilustración del plano complejo. Los números reales se encuentran en el eje de coordenadas horizontal y los imaginarios en el eje vertical.]]
El término '''número complejo''' describe la suma de un [[número real]] y un [[número imaginario]] (que es un múltiplo real de la [[unidad imaginaria]], que se indica con la letra '''i'''). Los números complejos se utilizan en todos los campos de las matemáticas, en muchos de la [[física]] (y notoriamente en la [[mecánica cuántica]]) y en [[ingeniería]], especialmente en la [[electrónica]] y las [[telecomunicaciones]], por su utilidad para representar las [[ondas electromagnéticas]] y la [[corriente eléctrica]].
En matemáticas, los números constituyen un [[cuerpo (matemática)|cuerpo]] y, en general, se consideran como puntos del plano: el [[plano complejo]]. La propiedad más importante que caracteriza a los números complejos es el [[teorema fundamental del álgebra]], que afirma que cualquier [[ecuación algebraica]] de grado ''n'' tiene exactamente n soluciones complejas.
Los '''números complejos''' son una extensión de los [[número real|números reales]], cumpliéndose que <math>\mathbb{R}\sub\mathbb{C}</math>. Los números complejos representan todas las [[raíz (matemática)|raíces]] de los [[polinomio]]s, a diferencia de los reales.
Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra ordinaria, llamada álgebra de los números complejos, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, aerodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia.
Contienen a los números reales y los imaginarios puros y constituyen una de las construcciones teóricas más importantes de la inteligencia humana. Los análogos del [[cálculo diferencial]] e [[integral]] con números complejos reciben el nombre de [[variable compleja]] o análisis complejo.
:<math>
\begin{array}{ll}
\mathbb{C} & \mbox{Complejos}
\begin{cases}
\mathbb{R} & \mbox{Reales}
\begin{cases}
\mathbb{Q} & \mbox{Racionales}
\begin{cases}
\mathbb{Z} & \mbox{Enteros}
\begin{cases}
\mathbb{N} & \mbox{Naturales} \\
& \mbox{Cero} \\
& \mbox{Enteros negativos}
\end{cases}\\
& \mbox{Fraccionarios}
\end{cases}\\
& \mbox{Irracionales}
\end{cases}\\
& \mbox{Imaginarios}
\end{cases}
\end{array}
</math>
== Definición ==
Definiremos cada complejo ''z'' como un [[par ordenado]] de números reales (''a'', ''b'') ó (Re(''z''), Im(''z'')), en el que se definen las siguientes operaciones:
* Suma
: <math>(a, b) + (c, d) = (a+c) +\; (b+d)i</math>
* Multiplicación
: <math>(a, b) \cdot (c, d) = (ac - bd) +\; (ad + cb)i </math>
* Igualdad
: <math>(a, b) = (c, d) \iff a = c \and b = d</math>
Al primer componente (que llamaremos ''a'') se le llama '''parte real''' y al segundo (que llamaremos ''b''), '''parte imaginaria'''.
Se denomina '''número imaginario puro''' a aquel que esta compuesto sólo por la parte imaginaria, es decir, aquel en el que <math>a = 0</math> .
Los números complejos forman un [[cuerpo (matemática)|cuerpo]], el cuerpo complejo, denotado por '''C''' (o más apropiadamente por el carácter [[unicode]] ℂ ). Si identificamos el número real ''a'' con el complejo (''a'', 0), el cuerpo de los números reales '''R''' aparece como un subcuerpo de '''C'''. Más aún, '''C''' forma un [[espacio vectorial]] de dimensión 2 sobre los reales. Los complejos no pueden ser ordenados como, por ejemplo, los [[números reales]]: '''C''' no puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpo [[Teoría del orden|ordenado]].
La multiplicación de números complejos es asociativa, conmutativa y distributiva:
Sean <math> z,w,s \in \mbox{C}</math>
I) <math> (zw)s = z(ws)\,</math>
II) <math> zw = wz\,</math>
III) <math> z(w + s) = zw + zs \,</math>
Sean <math> z = a + i b, w = c + i d, s = e + i f \,</math>
con <math> a,b,c,d,e,f \in \mbox{R}</math>
Por demostrar la propiedad asociativa (I)
<math>(zw)s = [(a + i b)(c + i d)](e + i f) = [(ac - bd) + i (bc + ad)](e + i f)\,</math>
<math>[e(ac - bd) - f(bc + ad)] + i [e(bc + ad) + f(ac - bd)] = (ace - bde - bcf - adf) + i (bce + ade + acf - bdf)\, </math>
Por otra parte
<math>z(ws) = (a + i b)[(c + i d)(e + i f)] = (a + i b)[(ce - df) + i (de + cf)]\,</math>
<math>[a(ce - df) - b(de + cf)] + i [b(ce - df) + a(de + cf)] = (ace - bde - bcf - adf) + i (bce + ade + acf - bdf)\,</math>
Entonces se cumple <math> (zw)s = z(ws)\,</math>.
=== Unidad imaginaria ===
Tomando en cuenta que <math>(a, 0) \cdot (0, 1) = (0, a)</math>, se define un número especial en matemáticas de gran importancia, el número ''i'' o unidad imaginaria, definido como
: <math>\mathrm{i} = (0, 1) \,\!</math>
De donde se deduce inmediatamente que,
: <math>\mathrm{i}^2 = \mathrm{i} \cdot \mathrm{i} = (0, 1) \cdot (0, 1) = (-1, 0) = -1 </math>
== Representación binómica ==
Un número complejo se representa en forma binomial como:
:<math>z = a + bi \,</math>
La parte real del número complejo y la parte imaginaria, se pueden expresar de varias maneras, como se muestra a continuación:
:<math>a = \hbox{Re}(z)=\Re(z)</math>
:<math>b = \hbox{Im}(z)=\Im(z)</math>
== Plano de los números complejos o Diagrama de Argand ==
El concepto de plano complejo permite interpretar [[geometría|geométricamente]] los números complejos. La suma de números complejos se puede relacionar con la [[suma]] con [[vector]]es, y la [[multiplicación]] de números complejos puede expresarse simplemente usando [[coordenadas polares]], donde la magnitud del producto es el producto de las magnitudes de los términos, y el ángulo contado desde el eje real del producto es la suma de los ángulos de los términos.
Los diagramas de Argand se usan frecuentemente para mostrar las posiciones de los [[polo]]s y los [[raíz (matemáticas)|ceros]] de una [[Función matemática|función]] en el plano complejo.
El análisis complejo, la teoría de las funciones complejas, es una de las áreas más ricas de la matemática, que encuentra aplicación en muchas otras áreas de la matemática así como en [[física]], [[electrónica]] y muchos otros campos.
== Valor absoluto o módulo, conjugado y distancia ==
=== Valor absoluto o módulo de un número complejo ===
El [[valor absoluto]], ''módulo'' o ''magnitud'' de un número complejo ''z'' viene dado por la siguiente expresión:
{{ecuación|
<math> |z| = \sqrt{z^* z} = \sqrt{\hbox{Re}^2(z) + \hbox{Im}^2(z)}
</math>
||left}}
Si pensamos en ''z'' como algún punto en el plano; podemos ver, por el [[teorema de Pitágoras]], que el valor absoluto de un número complejo coincide con la [[distancia euclídea]] desde el origen del plano.
Si el complejo está escrito en forma exponencial ''z'' = ''r e''<sup>iφ</sup>, entonces |''z''| = ''r''. Se puede expresar en forma polar como ''z'' = ''r (cosφ + isenφ)'', donde cosφ + isenφ = ''e''<sup>iφ</sup> es la conocida [[fórmula de Euler]].
Podemos comprobar con facilidad estas cuatro importantes propiedades del valor absoluto
: <math> \left| z \right| = 0 \Longleftrightarrow z = 0 </math>
: <math> \left| z + w \right| \leq |z| + |w| </math>
| |||