Diferencia entre revisiones de «Número real»
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== Historia ==
Los [[Antiguo Egipto|egipcios]] utilizaron por primera vez las [[fracción egipcia|fracciones comunes]] alrededor del año [[1000 a. C.|1000 a. C.]]; alrededor del [[500 a. C.|500 a. C.]] el grupo de matemáticos [[Antigua Grecia|griegos]] liderados por [[Pitágoras]] se dio cuenta de la necesidad de los [[número irracional|números irracionales]]. Los [[número negativo|números negativos]] fueron ideados por matemáticos [[India|indios]] cerca del [[600]], posiblemente reinventados en [[China]] poco después, pero no se utilizaron en [[Europa]] hasta el [[siglo XVII]], si bien a finales del [[siglo XVIII|XVIII]] [[Leonhard Euler]] descartó las soluciones negativas de las ecuaciones porque las consideraba irreales. En ese siglo, en el [[Análisis matemático|cálculo]] se utilizaba un conjunto de números reales sin una definición concisa, cosa que finalmente sucedió con la definición rigurosa hecha por [[Georg Cantor]] en [[1871]].
En realidad, el estudio riguroso de la construcción total de los números reales exige tener amplios antecedentes de [[teoría de conjuntos]] y [[lógica matemática]]. Fue lograda la construcción y sistematización de los números reales en el siglo XIX por dos grandes matemáticos europeos utilizando vías distintas: la teoría de conjuntos de Georg Cantor (encajamientos sucesivos, cardinales finitos e infinitos), por un lado, y el análisis matemático de [[Richard Dedekind]] (vecindades, entornos y [[cortaduras de Dedekind]]). Ambos matemáticos lograron la sistematización de los números reales en la historia, no de manera espontánea, sino utilizando todos los avances previos en la materia: desde la antigua Grecia y pasando por matemáticos como [[René Descartes|Descartes]], [[Newton]], [[Leibniz]], [[Euler]], [[Lagrange]], [[Gauss]], [[Riemann]], [[Cauchy]] y [[Weierstrass]].
=== Evolución del concepto de número ===
Se sabe que los egipcios y babilónicos hacían uso de fracciones (números racionales) en la resolución de problemas prácticos. Sin embargo, fue con el desarrollo de la matemática griega cuando se consideró el aspecto filosófico de número. Los pitagóricos descubrieron que las relaciones armónicas entre las notas musicales correspondían a cocientes de números enteros, lo que les inspiró a buscar proporciones numéricas en todas las demás cosas, y lo expresaron con la máxima «''todo es número''».
En la matemática griega, dos magnitudes son ''conmensurables'' si es posible encontrar una tercera tal que las primeras dos sean múltiplos de la última, es decir, es posible encontrar una ''unidad'' común para la que las dos magnitudes tengan una medida entera. El principio pitagórico de que todo número es un cociente de enteros, expresaba en esta forma que cualesquiera dos magnitudes deben ser conmensurables.
Sin embargo, el ambicioso proyecto pitagórico se tambaleó ante el problema de medir la diagonal de un cuadrado, o la hipotenusa de un triángulo rectángulo, pues no es conmensurable respecto de los catetos. En notación moderna, un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 1, tiene una hipotenusa que mide <math>\sqrt{2}</math>:
: Si <math>\sqrt{2}=p/q</math> es un número racional donde ''p/q'' está reducido a sus términos mínimos (sin factor común) entonces 2''q''²=''p''².
: La expresión anterior indica que ''p''² es un número par y por tanto ''p'' también, es decir, ''p=2m''. Sustituyendo obtenemos 2''q''²=(2''m'')²=4''m''², y por tanto ''q''²=2''p''².
: Pero el mismo argumento usado nos dice ahora que ''q'' debe ser un número par, esto es, ''q''=2''n''. Mas esto es imposible, puesto que ''p'' y ''q'' no tienen factores comunes (y hemos encontrado que 2 es un factor de ambos).
: Por tanto, la suposición misma de que <math>\sqrt{2}</math> es un número racional debe ser falsa.
Surgió entonces un dilema, ya que de acuerdo al principio pitagórico: todo número era racional, mas la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles no era conmensurable con los catetos, lo cual implicó que en adelante las magnitudes geométricas y las cantidades numéricas tendrían que tratarse por separado, hecho que tuvo consecuencias en el desarrollo de la matemática durante los dos milenios siguientes.<ref>{{cita libro
| apellidos = Dantzig
| nombre = Tobias
| título = The Bequest of the Greeks
| año = 1955
| editorial = London: Unwin Brothers LTD
| id = 3982581
}}</ref>
Los griegos desarrollaron una geometría basada en comparaciones (proporciones) de segmentos sin hacer referencia a valores numéricos, usando diversas teorías para manejar el caso de medidas inconmesurables, como la [[teoría de proporciones de Eudoxo]]. Así, los números irracionales permanecieron a partir de entonces excluidos de la aritmética puesto que sólo podían ser tratados mediante el método de infinitas aproximaciones. Por ejemplo, los pitagóricos encontraron (en notación moderna) que si ''a/b'' es una aproximación a <math>\sqrt{2}</math> entonces ''p''=''a''+2''b'' y ''q''=''a''+''b'' son tales que ''p/q'' es una aproximación más precisa. Repitiendo el proceso nuevamente se obtienen mayores números que dan una mejor aproximación.<ref name="Stillwell">{{cita libro
| apellidos = Stillwell
| nombre = John
| título = Mathematics and its History
| año = 1989
| editorial = Springer-Verlag
| isbn= 3-540-96981-0
| id= 19269766
}}</ref>
Dado que las longitudes que expresan los números irracionales podían ser obtenidas mediante procesos geométricos sencillos pero, aritméticamente, sólo mediante procesos de infinitas aproximaciones, originó que durante 2000 años la teoría de los números reales fuese esencialmente geométrica, identificando los números reales con los puntos de una línea recta.
Nuevos avances en el concepto de número real esperaron hasta los siglos XVI y XVII, con el desarrollo de la notación algebraica, lo que permitió la manipulación y operación de cantidades sin hacer referencia a segmentos y longitudes. Por ejemplo, se encontraron fórmulas para resolver ecuaciones de segundo y tercer grado de forma mecánica mediante [[algoritmo]]s, los cuales incluían raíces e incluso, en ocasiones, «números no reales» (lo que ahora conocemos como [[número complejo|números complejos]]). Sin embargo, no existía aún un concepto formal de número y se seguía dando primacía a la [[geometría]] como fundamento de toda la matemática. Incluso con el desarrollo de la [[geometría analítica]] este punto de vista se mantenía vigente, pues [[René Descartes|Descartes]] rechazaba la idea que la geometría pudiera fundamentarse en números, puesto que para él la nueva área era simplemente una herramienta para resolver problemas geométricos.
Posteriormente, la invención del [[cálculo infinitesimal|cálculo]] abrió un período de grande avances matemáticos, con nuevos y poderosos métodos que permitieron por vez primera atacar los problemas relacionados con lo infinito mediante el concepto de [[límite]]. Así, un número irracional pudo ser entendido como el límite de una suma infinita de números racionales (por ejemplo, su expansión decimal). Como muestra, el número π puede estudiarse de forma algebraica (sin apelar a la intuición geométrica) mediante la serie:
{{ecuación|<math>\pi = 4\left(1 - \frac{1}{3}+\frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots\right) = 4\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\frac{1}{2k+1}</math>}}
entre muchas otras expresiones similares.
Para entonces, el concepto intuitivo de número real era ya el moderno, identificando sin problema un segmento con la medida de su longitud (racional o no). El cálculo abrió el paso al [[análisis matemático]], que estudia conceptos como continuidad, convergencia, etc. Pero el análisis no contaba con definiciones rigurosas y muchas de las demostraciones apelaban aún a la intuición geométrica. Esto conllevó a una serie de paradojas e imprecisiones.
== Tipos de números reales ==
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