Diferencia entre revisiones de «Grupo simétrico»
Contenido eliminado Contenido añadido
Sin resumen de edición |
m Revertidos los cambios de 189.245.82.41 a la última edición de Davius |
||
Línea 1:
[[Image:GrapheCayley-S4-Plan.svg|thumb|200px|[[Grafo de Cayley]] de un grupo simétrico de orden 4 (''S''<sub>4</sub>) representado como el grupo de rotaciones de un [[dado]] convencional.]]
En [[matemáticas]], el '''grupo simétrico''' sobre un [[conjunto]] ''X'', denotado por S<sub>''X''</sub> es el [[grupo]] formado por las funciones biyectivas ([[permutación|permutaciones]]) de ''X'' en sí mismo.
Los subgrupos de S<sub>''X''</sub> se denominan ''grupos de permutaciones''. El [[Teorema de Cayley]] afirma que todo grupo G es isomorfo a un grupo de permutaciones (ie: un subgrupo del simétrico).
De especial relevancia es el grupo simétrico sobre el conjunto finito ''X'' = {1,...,''n''}, denotado por S<sub>''n''</sub>. El grupo S<sub>''n''</sub> tiene orden n! y no es [[grupo abeliano|abeliano]] para n>2.
<!--==Introducción==
Antiguamente, se definía una '''permutación''' así: Sea un número ''n'' de objetos, (n>1), alineados en una mesa con el fin de poder atribuir a cada cual su rango: el objeto más a la izquierda es el primero, el que sigue el segundo y así sucesivamente. Ahora se mezclan los objetos y se les vuelven a colocar en una fila, en cualquier orden. Se dice que se han permutado los objetos, o, lo que viene a ser lo mismo, los números de 1 a ''n''.<br />
Si el objeto que se encuentra actualmente a la izquieda era antes el quinto de la fila, si el que se encuentra a su derecha era el séptimo ... y el que está al final era el segundo ... entonces la actual permutación está caracterizada por los serie de números ( 5, 7, ..., 2).
La definición moderna de una permutación ya no hace referencia al mundo real, y prescinde de los objetos. <br />
Para conocer la permutación, sólo se necesita conocer la serie de números (5, 7, ..., 2) en el ejemplo. Se dice que 5 es la imagen de 1 por la permutación, 7 es la imagen de 2, ...y 2 es la imagen de ''n''. De este punto de vista, una permutación es una aplicación biyectiva de ''{1,...,n}'' hacia ''{1,...,n}''. Es biyectiva porque a cada posición anterior de un objeto corresponde una única posición actual.-->
== Composición de permutaciones ==
Hay diversas [[permutación#En Teoría de grupos|formas de representar una permutación]]. Podemos escribir una permutación σ en forma de matriz, situando en primera fila los elementos del dominio 1, 2, 3..., y en la segunda las imágenes correspondientes σ(1), σ(2), σ(3),....<br />
Dada dos permutaciones, su composición se realiza siguiendo las reglas usuales de [[función compuesta|composición de funciones]]:
{|
|Si
|<math>
\sigma =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
3 & 2 & 4 & 6 & 5 & 1 \\
\end{pmatrix}
</math>
| y
| <math>
\tau =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
4 & 1 & 2 & 5 & 3 & 6 \\
\end{pmatrix}
</math>
|}
su composición es:
<math>
\tau \circ \sigma =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
2 & 1 & 5 & 6 & 3 & 4 \\
\end{pmatrix}
</math>
El cálculo de la composición puede seguirse de un modo visual, recordando que al componer funciones se opera de derecha a izquierda:<br />
<center>
[[Imagen:composicion de permutaciones.svg|600px]]
</center>
== Una presentación del grupo ==
=== Generadores ===
Recordemos que una '''trasposición''' es una permutación que intercambia dos elementos y fija los restantes.
Toda permutación se [[Permutación#Descomposición de una permutación en trasposiciones|descompone como producto de trasposiciones]]. De este modo, el conjunto de las trasposiciones forma un sistema generador de <math>S_n</math>. Pero es posible reducir aún más este sistema restringiéndonos a las trasposiciones de la forma <math>\tau_i=(i,i+1)</math>. En efecto, para ''i<j'' podemos descomponer cualquier trasposición en la forma:
:<math>(i,j)=(i,i+1)(i+1,i+2)\dots (j-2,j-1)(j-1,j)(j-2,j-1)\dots (i+1,i+2)(i,i+1)</math>
=== Relaciones elementales ===
Estos generadores permiten definir una [[presentación de grupo|presentación]] del grupo simétrico, junto con las relaciones:
*<math>{\tau_i}^2 = 1\, </math>,
*<math>\tau_i\tau_j = \tau_j\tau_i \qquad \mbox{si } |j-i| > 1\,</math>,
*<math>{(\tau_i\tau_{i+1}})^3=1.\,</math>.
=== Otros generadores ===
Es posible igualmente usar como sistema de generadores:
*Las trasposiciones de la forma ''(1 i)'', con ''i>1''.
* El conjunto formado por solo dos generadores:la trasposición ''σ=(1 2)'' y el [[ciclo (permutación)|ciclo]] ''c=(1 2 ... n)''.
== Clases de conjugación ==
Recordemos que toda permutación puede ser descrita como [[permutación#Descomposición de una permutación en ciclos disjuntos|producto de ciclos disjuntos]], y esta descomposición es única salvo el orden de los factores. Las clases de conjugación de S<sub>''n''</sub> se corresponden con la estructura de dicha descomposición en ciclos: dos permutaciones son conjugadas en S<sub>''n''</sub> si y sólo si se obtienen como composición del mismo número de ciclos disjuntos de las mismas longitudes. Por ejemplo, en S<sub>5</sub>, (1 2 3)(4 5) y (1 4 3)(2 5) son conjugados; pero (1 2 3)(4 5) y (1 2)(4 5) no.
El grupo ''S''<sub>3</sub>, formado por las 6 permutaciones de tres elementos tiene tres clases de conjugación, listadas con sus números de elementos:
*La identidad (abc → abc) (1)
*Las permutaciones que intercambian dos elementos (abc → acb, abc → bac, abc → cba) (3)
*Las permutaciones ciclicas de los 3 elementos (abc → bca, abc → cab) (2)
Línea 5 ⟶ 77:
El grupo ''S''<sub>4</sub>, consistente en las 24 permutaciones de 4 elementos tiene 5 clases de conjugación:
*La identidad (1)
*Las permutaciones que intercambian dos elementos (6)
*Las permutaciones que intercambian cíclicamente tres elementos (8)
*Las permutaciones cíclicas de los cuatro elementos (6)
*Las permutaciones que intercambian dos elementos entre sí, y también los dos restantes (3)
En general, cada clase de conjugación en ''S''<sub>n</sub> se corresponderá con una [[partición (teoría de números)|partición entera]] de ''n'' y podrá ser representada gráficamente por un [[diagrama de Young]]. Así, por ejemplo, las cinco particiones de 4 se corresponderían con las cinco clases de conjugación listadas anteriormente:
# 1 + 1 + 1 + 1
# 2 + 1 + 1
# 3 + 1
# 4
# 2 + 2
== Representaciones del grupo ==
Si asociamos a cada permutación su [[matriz permutación]] obtenemos una representación que en general no es irreducible.<ref>Sternberg, S. ''Group Theory and Physics''. Cambridge University Press, 1994. ISBN 0 521 24870 1</ref>
=== Representaciones irreducibles ===
== Referencias ==
{{listaref}}
[[Categoría:Combinatoria]]
[[Categoría:Teoría de grupos]]
[[Categoría:Simetría]]
[[ca:Grup simètric]]
[[de:Symmetrische Gruppe]]
| |||