Diferencia entre revisiones de «Teorema del coseno»
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== Demostraciones ==
=== Por desglose de áreas ===
[[Archivo:Ley de cosenos con ángulo agudo.svg|thumb|280px|Fig. 4a - Demostración del teorema del coseno por desglose de áreas, cuando el ángulo es agudo.]]Un cierto número de la demostraciones del teorema hacen intervenir un cálculo de [[área (Geometría)|áreas]]. Conviene en efecto remarcar que
* ''a², b², c²'' son las áreas de los [[cuadrado]]s de lados respectivos ''a, b, c''.
* ''ab'' cos(γ) es el área de un paralelogramo de lados ''a'' y ''b'' que forman un ángulo de 90°-γ (para una prueba, ver el [[Teorema del coseno/apéndice|apéndice]]).
Dado que cos(γ) cambia de signo dependiendo de si γ es mayor o menor a 90°, se hace necesario dividir la prueba en 2 casos
La figura 4a (contigua) divide un heptágono de dos maneras diferentes para demostrar el teorema del coseno en el caso de un ángulo agudo. La división es la siguiente:
* En verde, las áreas ''a², b² la izquierda, y el área , ''c²'' a la derecha.
* En rojo, el triángulo ''ABC'' en ambos diagramas y en amarillo triángulos congruentes al ''ABC''.
* En azul, paralelogramos de lados ''a'' y ''b'' con ángulo ''90''°-γ.
Igualando las áreas y cancelando las figuras iguales se obtiene que <math>a^2+b^2 = c^2+2ab\, \cos\gamma</math>, equivalente al Teorema del coseno.
<br clear="all" />
[[Archivo:Ley de cosenos con ángulo obtuso.svg|thumb|280px|Fig. 4b - Demostración del teorema del coseno por desglose de áreas, cuando el ángulo es obtuso.]]
La figura 4b (contigua) desglosa un hexágono de dos maneras diferentes para demostrar el teorema del coseno en el caso de un ángulo obtuso. La figura muestra
* En verde ''a², b²'' la izquierda y ''c²'' a la derecha.
* En azul -''2ab'' cos(γ), recordando que al ser cos(γ) negativo, la expresión completa es positiva.
* En rojo, dos veces el triángulo ''ABC'' para ambos lados de la figura.
Igualando áreas y cancelando las zonas rojas da <math>\,a^2+b^2-2ab\cos\gamma = c^2</math>, como queríamos demostrar.
<br clear="all" />
=== Por el teorema de Pitágoras ===
Notemos que el Teorema de Cosenos es equivalente al Teorema de Pitágoras cuando el ángulo <math>\gamma</math> es recto. Por tanto sólo es necesario considerar los casos cuando ''c'' es adyacente a dos ángulos agudos y cuando ''c'' es adyacente a un ángulo agudo y un obtuso.
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