Diferencia entre revisiones de «Demostraciones del pequeño teorema de Fermat»
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Este teorema es un caso especial del [[teorema de Euler]] que generaliza este concepto mucho más.
== Prueba original de Euler ==
[[Leonhard Euler]] dio en 1736 la primera demostración en un artículo titulado ''Theorematum Quorundam ad Números Primos Spectantium Demonstratio''<ref>[http://www.cs.utexas.edu/users/wzhao/e054.pdf Euler, Leonhard, Theorematum Quorundam ad Numeros Primos Spectantium Demonstratio] (traducción paralela del latín al inglés)</ref> y es la siguiente:
Se demuestra por [[inducción matemática]] sobre los números naturales.
Sea ''n'' = 1, sabemos que 1<sup>''p''</sup> -1 = 0 es divisible por ''p'' primo. Supongamos ahora que se aplica para 2 y es correcto, entonces tendremos que p|2<sup>''p''</sup> -2. Si se aplica a todos los números hasta ''n'' y se cumple la proposición,
y se puede demostrar que para ''n'' + 1 también se cumple, entonces se cumplirá para todo ''n''.
* Partimos de que <math>p \mid n^p-n \,\!</math>
* Utilizamos el [[binomio de Newton]] para expandir la potencia (''n'' + 1)<sup>p</sup>:
: <math>(n+1)^p=\sum_{k=0}^{p}\left(\frac{p!}{k!(p-k)!}\right)n^{p-k}</math>
* Agrupando factores y reordenando la identidad:
: <math>(n+1)^p-(n+1)=n^p-n+\sum_{k=1}^{p-1}\left(\frac{p!}{k!(p-k)!}\right)n^{p-k}</math>
* Dado que el número resultante del sumatorio del miembro de la derecha es divisible por ''p'', porque el [[coeficiente binomial]] <math>\frac{p!}{k!(p-k)!}</math> es divisible por ''p'' para 0 < ''k'' < ''p'' y ''p'' primo, y ''n''<sup>p</sup> -''n'' es divisible por ''p'' por hipótesis inductiva, tenemos que (''n'' + 1)<sup>p</sup> -(''n'' + 1) es divisible por ''p''.
* Repitiendo el proceso vemos que se cumple para todo ''n''.
== Prueba usando el teorema de Euler ==
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