Diferencia entre revisiones de «Recta de Euler»
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{{cita|La naturaleza de algunos de sus más sencillos descubrimientos es tal que uno bien puede pensar en el fantasma de Euclides diciendo «Pero ¿cómo no se me ocurrió?»|2=[[H. S. M. Coxeter]] en relación al trabajo de Euler.<ref>{{cita libro |apellidos=Coxeter |nombre=Harold Scott MacDonald |enlaceautor=H._S._M._Coxeter |editorial= Limusa-Wiley|título= Fundamentos de Geometry (Introduction to Geometry)|edición=2a |año=1969|isbn=978-0471504580 |capítulo=1. Triángulos}}</ref> }}
== Demostración ==
En un triángulo ''ABC'', se determinan ''D'' es el punto medio del lado ''BC'' y ''E'' el punto medio del lado ''CA''. Entonces ''AD'' y ''BE'' son [[mediana]]s que se intersecan en el [[baricentro]] ''G''. Trazando las [[perpendicular]]es por ''D'' y ''E'' se localiza el [[circuncentro]] ''O''.
A continuación se prolonga la recta ''OG'' (en dirección a ''G'') hasta un punto ''P'' de modo que ''PG'' tenga el doble de longitud de ''GO'' (figura 1).
Al ser ''G'' baricentro, divide a las medianas en razón 2:1, es decir: ''AG=2GD''. De este modo
{{ecuación|<math>\frac{AG}{GD} = 2 = \frac{PG}{GO}</math>.|3=left}}
Por otro lado, los ángulos ''AGP'' y ''DGO'' son opuestos por el vértice y por tanto iguales. Estas dos observaciones permiten concluir que los triángulos ''AGP'' y ''DGO'' son [[triángulos semejantes|semejantes]].
Pero de la semejanza se concluye que los ángulos ''PAG'' y ''ODG'' son iguales y de este modo ''AP'' es paralela a ''OD''. Finalmente, dado que ''OD'' es perpendicular a ''BC'' entonces ''AP'' también lo será, es decir ''AP'' es la altura del triángulo.
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Imagen:Recta de Euler-paso1.svg|1. Se construye ''PG'' de modo que tenga el doble de longitud de ''GO''.
Imagen:Recta de Euler-paso2.svg|2. Los triángulos ''AGP'' y ''DGO'' son semejantes.
Imagen:Recta de Euler-paso3.svg|3. Las rectas ''DO'' y ''AP'' son paralelas. Por tanto ''AP'' es altura del triángulo.
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Un argumento similar prueba que los triángulos ''BPG'' y ''EOG'' son semejantes y por tanto ''BP'' también es altura. Esto demuestra que ''P'' es el punto de intersección de las alturas y por tanto ''P=H'', es decir, ''P'' es el ortocentro.
== Referencias ==
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