Diferencia entre revisiones de «Teorema de Pitágoras»
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== Historia ==
El '''Teorema de Pitágoras''' lleva este nombre porque su descubrimiento recae sobre la escuela pitagórica. Anteriormente, en [[Mesopotamia]] y el [[Antiguo Egipto]] se conocían ternas de valores que se correspondían con los lados de un triángulo rectángulo, y se utilizaban para resolver problemas referentes a los citados triángulos, tal como se indica en algunas tablillas y [[papiro]]s, pero no ha perdurado ningún documento que exponga teóricamente su relación. La [[pirámide de Kefrén]], datada en el [[siglo XXVI a. C.|siglo XXVI a. C.]], fue la primera gran pirámide que se construyó basándose en el llamado [[triángulo sagrado egipcio]], de proporciones 3-4-5.
== Demostraciones ==
El Teorema de Pitágoras es de los que cuentan con un mayor número de demostraciones diferentes, utilizando métodos muy diversos. Una de las causas de esto es que en la [[Edad Media]] se exigía una nueva demostración del teorema para alcanzar el grado de ''Magíster matheseos''.
Algunos autores proponen hasta más de mil demostraciones. Otros autores, como el matemático estadounidense [[E. S. Loomis]], catalogó 367 pruebas diferentes en su libro de [[1927]] ''The Pythagorean Proposition''.
En ese mismo libro, Loomis clasificaría las demostraciones en cuatro grandes grupos: las '''algebraicas''', donde se relacionan los lados y segmentos del triángulo; '''geométricas''', en las que se realizan comparaciones de áreas; '''dinámicas''' a través de las propiedades de fuerza, masa; y las '''cuaterniónicas''', mediante el uso de vectores.
=== China: el ''Chou Pei Suan Ching'', y el ''Chui Chang Suang Shu'' ===
[[Archivo:Chinese pythagoras.jpg|thumb|210px|Prueba visual para un triángulo de '''''a''''' = 3, '''''b''''' = 4 y '''''c''''' = 5 como se ve en el Chou Pei Suan Ching, 500-200 a. C.]]
[[Archivo:Pythagoras-2.gif|right|220px]]
El ''Chou Pei'' es una obra matemática de datación discutida en algunos lugares, aunque se acepta mayoritariamente que fue escrita entre el 500 y el 300 [[a. C.]] Se cree que Pitágoras no conoció esta obra. En cuanto al ''Chui Chang'' parece que es posterior, está fechado en torno al año [[250 a. C.|250 a. C.]]
El ''Chou Pei'' demuestra el teorema construyendo un cuadrado de lado '''''(a+b)''''' que se parte en cuatro [[triángulo]]s de base '''''a''''' y altura '''''b''''', y un cuadrado de lado '''''c'''''.
;Demostración
Sea el [[triángulo rectángulo]] de catetos '''''a''''' y '''''b''''' e hipotenusa '''''c'''''. Se trata de demostrar que el área del [[cuadrado]] de lado ''c'' es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de lado ''a'' y lado ''b''. Es decir:
: <math> a^2 + b^2 = c^2\,</math>
Si añadimos tres triángulos iguales al original dentro del cuadrado de lado '''''c''''' formando la figura mostrada en la imagen, obtenemos un cuadrado de menor tamaño. Se puede observar que el cuadrado resultante tiene efectivamente un lado de '''''b - a'''''.
Luego, el área de este cuadrado menor puede expresarse de la siguiente manera:
:<math>(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \,</math>
Ya que <math>(b-a)^2 = (a-b)^2 \,</math> .
Es evidente que el área del cuadrado de lado '''''c''''' es la suma del área de los cuatro triángulos de altura '''''a''''' y base '''''b''''' que están dentro de él más el área del cuadrado menor:
:<math>c^2 = 4 \cdot \left( \frac{a \cdot b}{2} \right) + a^2 - 2ab + b^2= a^2 + b^2 </math>
Con lo cual queda demostrado el teorema.
=== Demostraciones supuestas de Pitágoras ===
[[Archivo:Teorema de Pitágoras.Pitágoras.svg|framed|<center>Se cree que Pitágoras se basó en la semejanza de los triángulos ABC, AHC y BHC. La figura coloreada hace evidente el cumplimiento del teorema.</center>]]
Se estima que se demostró el teorema mediante [[triángulos semejantes|semejanza]] de triángulos: sus lados homólogos son proporcionales.<ref>Una vez descubiertos los [[número irracional|números irracionales]] esta demostración quedaba invalidada. Será [[Euclides]] el primero en prescindir de la proporcionalidad para demostrar el teorema.</ref>
Sea el triángulo ABC, rectángulo en C. El segmento CH es la altura relativa a la hipotenusa, en la que determina los segmentos ''a’'' y ''b’'', proyecciones en ella de los catetos ''a'' y ''b'', respectivamente.
Los triángulos rectángulos ABC, AHC y BHC tienen sus tres bases iguales: todos tienen dos bases en común, y los ángulos agudos son iguales bien por ser comunes,
* De la semejanza entre ABC y AHC:
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