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:<math>\phi(x) = ce^{-h^2 x^2}</math>
siendo <math>c</math> y <math>h</math> constantes que dependen de la precisión de la observación. Expuso dos demostraciones, siendo la segunda esencialmente la misma de [[John Herschel]] (1850). [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] expuso la primera demostración que parece que se conoció en Europa (la tercera después de la de Adrain) en 1809. Demostraciones adicionales se expusieron por Laplace (1810, 1812), Gauss (1823), [[James Ivory (matemático)|James Ivory]] (1825, 1826), Hagen (1837), [[Friedrich Bessel]] (1838), [[W. F. Donkin]] (1844, 1856) y [[Morgan Crofton]] (1870). Otros personajes que contribuyeron fueron Ellis (1844), [[Augustus De Morgan|De Morgan]] (1864), [[Glaisher]] (1872) y [[Giovanni Schiaparelli]] (1875). La fórmula de Peters (1856) para <math>r</math>, el error probable de una única observación, es bien conocida.
En el [[siglo XIX]], los autores de la teoría general incluían a [[Laplace]], [[Sylvestre Lacroix]] (1816), Littrow (1833), [[Adolphe Quetelet]] (1853), [[Richard Dedekind]] (1860), Helmert (1872), [[Hermann Laurent]] (1873), Liagre, Didion, y [[Karl Pearson]]. [[Augustus De Morgan]] y [[George Boole]] mejoraron la exposición de la teoría.
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