Diferencia entre revisiones de «Efecto túnel»
Contenido eliminado Contenido añadido
m Revertidos los cambios de 200.112.253.184 (disc.) a la última edición de Lucifer2000 |
|||
Línea 23:
== Cálculo en sistemas semiclásicos ==
Consideremos la
<math>V(x)</math>.
:<math>-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} \Psi(x) + V(x) \Psi(x) = E \Psi(x)</math>
:<math>
Ahora, recuperemos la función de onda <math>\Psi(x)</math> como exponencial de una función.
:<math>\Psi(x) = e^{\Phi(x)} \, </math>
:<math>\Phi''(x) + \Phi'(x)^2 = \frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right).</math>
Separamos <math>\Phi'(x)</math> en sendas partes reales e imaginarias, empleando para ello las funciones de variable real A y B.
:<math>\Phi'(x) = A(x) + i B(x) \, </math>
:<math>A'(x) + A(x)^2 - B(x)^2 = \frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right)</math>,
porque la parte imaginaria pura desaparece debido a la evaluación real del segundo miembro:
:<math>i\left(B'(x) - 2 A(x) B(x)\right) = 0.</math>
▲:<math>B(x) = \frac{1}{\hbar} \su_{k=0}^\infty \hbar^k B_k(x).</math>
Lo siguiente es tomar la aproximación semiclásica para resolver la ecuación. Esto significa que habremos de expandir cada función como una superserie en <math>\hbar</math>. De las ecuaciones, inferimos que las superseries deben comenzar, cuando menos un orden de <math>\hbar^{-1}</math> para satisfacer la parte real de las mismas. Pero, cuando el cálculo requiere de un límite clásico razonablemente más preciso, también necesitaremos comenzar con un orden de magnitud superior a la constante de Planck como sea posible.
Si la amplitud varía lentamente en comparación con la fase, especificamos <math>A_0(x) = 0</math> y obtenemos▼
:<math>A(x) = \frac{1}{\hbar} \sum_{k=0}^\infty \hbar^k A_k(x)</math>
:<math>B(x) = \frac{1}{\hbar} \sum_{k=0}^\infty \hbar^k B_k(x).</math>
Las limitaciones en los términos de mínimo orden quedan:
:<math>A_0(x)^2 - B_0(x)^2 = 2m \left( V(x) - E \right)</math>
:<math>A_0(x) B_0(x) = 0</math>
▲Si la amplitud varía lentamente en comparación con la fase, especificamos <math>A_0(x) = 0</math> y obtenemos:
:<math>B_0(x) = \pm \sqrt{ 2m \left( E - V(x) \right) }</math>
:<math>\Psi(x) \approx C \frac{ e^{i \int dx \sqrt{\frac{2m}{\hbar^2} \left( E - V(x) \right)} + \theta} }{\sqrt[4]{\frac{2m}{\hbar^2} \left( E - V(x) \right)}}</math>
Por otra parte, si la fase varía lentamente en comparación con la amplitud, podemos ajustar <math>B_0(x) = 0</math> y obtener:
:<math>A_0(x) = \pm \sqrt{ 2m \left( V(x) - E \right) }</math>
que es válido sólo si si tiene mayor potencia que energía - movimiento tunelado. Resolviendo la siguiente expansión con un orden superior, obtenemos:
:<math>\Psi(x) \approx \frac{ C_{+} e^{+\int dx \sqrt{\frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right)}} + C_{-} e^{-\int dx \sqrt{\frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right)}}}{\sqrt[4]{\frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right)}}</math>
Es aparente por el denominador, que ambas soluciones aproximadas se alejan del punto de curvatura clásico <math>E = V(x)</math>. Lo que tenemos son las soluciones aproximadas más allá del potencial de la "colina" y debajo de la misma. Más allá de esta, la partícula se comporta como una una onda libre - la fase es oscilante. Debajo, la partícula sufre cambios exponenciales en la amplitud.
En un problema específico del "efecto túnel", deberíamos sospechar que la amplitud de la transición es proporcional a <math>e^{-\int dx \sqrt{\frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right)}}</math>, por lo que, de esta manera, el efecto está exponencialmente está complicado por largas desviaciones provenientes de la permisividad motriz clásica.
Pero para completarlo, debemos encontrar las soluciones aproximadas en algún sitio y relacionar los coeficientes para lograr una aproximación global al problema. Empleamos para ello las soluciones que se aproximen con fundamento a aquellas halladas antes de los puntos de curvatura clásicos <math>E=V(x)</math>.
Llamemos a un punto de curvatura <math>x_1</math>. Ahora, y gracias a que se sitúan próximos <math>E=V(x_1)</math>, podemos expandir <math>\frac{2m}{\hbar^2}\left(V(x)-E\right)</math> en una superserie.
:<math>\frac{2m}{\hbar^2}\left(V(x)-E\right) = v_1 (x - x_1) + v_2 (x - x_1)^2 + \cdots</math>
Aproximémonos únicamente al orden lineal <math>\frac{2m}{\hbar^2}\left(V(x)-E\right) = v_1 (x - x_1)</math>
:<math>\frac{d^2}{dx^2} \Psi(x) = v_1 (x - x_1) \Psi(x)</math>
Esta ecuación diferencial parece sospechosa y engañosamente simple. Sus soluciones son funciones de Airy.
:<math>\Psi(x) = C_A Ai\left( \sqrt[3]{v_1} (x - x_1) \right) + C_B Bi\left( \sqrt[3]{v_1} (x - x_1) \right)</math>
Supuestamente, esta solución debería conectar las soluciones halladas para los puntos del espacio allende las crestas y debajo del sistema. Dados dos coeficientes en un lado del punto de curvatura, deberíamos poder determinar otros dos coeficientes, al otro lado de la misma empleando esta solución local que los conecte. Por esta ende, ahora hemos encontrado una relación entre <math>C,\theta</math> y <math>C_{+},C_{-}</math>.
Afortunadamente, la funciones de Airy son asíntóticas para los senos, cosenos y funciones exponenciales, dentro de los propios límites que las definen. La relación pues, se determina como siguen estas líneas:
:<math>C_{+} = \frac{1}{2} C \cos{\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right)}</math>
:<math>C_{-} = - C \sin{\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right)}</math>
Ahora, podemos construir soluciones globales y resolver problemas de "tunelación".
El coeficiente de transmisión, <math>\left| \frac{C_{\mbox{outgoing}}}{C_{\mbox{incoming}}} \right|^2</math>, para una partícula "tuneladora" a través de un potencial enérgico o barrera, obtenemos que debe ser:
:<math>T = \frac{e^{-2\int_{x_1}^{x_2} dx \sqrt{\frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right)}}}{ \left( 1 + \frac{1}{4} e^{-2\int_{x_1}^{x_2} dx \sqrt{\frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right)}} \right)^2}</math>
Donde, <math>x_1,x_2</math> no son sino los dos puntos de la curva clásicos definidos por la barrera potencial. Si tomamos el límite clásico de todos los demás parámetros mayores que la constante de Planck, abreviados como <math>\hbar \rightarrow 0</math>, podemos observar que el coeficiente de transmisión tiende a cero. Este límite clásico puede fallar virtualmente, pero es más fácil de resolver, como es el caso del potencial cuadrático.
▲:<math>B_0(x) = \pm \sqrt{ 2m \left de más egía que potencial - movimiento clásico. Después se aplica el mismo procedimientos en el siguiente orden de la expansión y ob
== En la cultura popular ==
| |||