Diferencia entre revisiones de «Ecuación de Schrödinger»
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* Más tarde Dirac, proporcionó la ahora llamada [[ecuación de Dirac]] que no sólo incorporaba el espín para fermiones de espín 1/2, sino que introducía los efectos relativistas
== Resolución de la ecuación ==
La ecuación de Schrödinger, al ser una ecuación vectorial, se puede reescribir de manera equivalente en una [[Base (álgebra lineal)|base]] particular del espacio de estados. Si se elige por ejemplo la base <math>\left|\vec{r}\right\rangle</math> correspondiente a la [[representación de posición]] definida por:
{{ecuación|<math>
\hat{\vec{\mathbf{r}}}\left|\vec{r}\right\rangle=\vec{r}\left|\vec{r}\right\rangle
</math>||left}}
Entonces la función de onda <math>\Psi (t,\vec{r})\equiv\left\langle\vec{r}\right|\left.\Psi(t)\right\rangle\,</math> satisface la ecuación siguiente:
{{ecuación|<math>
i\hbar{\partial\Psi(t,\vec{r})\over\partial t}=-{\hbar^2\over 2m}\overrightarrow{\nabla}^2\Psi(t,\vec{r})+V(\vec{r},t)\Psi(t,\vec{r})
</math>||left}}
Donde <math>\overrightarrow{\nabla}^2\,</math> es el [[laplaciano]].
De esta forma se ve que la ecuación de Schrödinger es una [[ecuación en derivadas parciales]] en la que intervienen operadores [[linealidad|lineales]], lo cual permite escribir la solución genérica como suma de soluciones particulares. La ecuación es en la gran mayoría de los casos demasiado complicada para admitir una solución analítica de forma que su resolución se hace de manera aproximada y/o numérica.
=== Búsqueda de los estados propios ===
Los operadores que aparecen en la ecuación de Schrödinger son operadores lineales; de lo que se deduce que toda combinación lineal de soluciones es solución de la ecuación. Esto lleva a favorecer la búsqueda de soluciones que tengan un gran interés teórico y práctico: a saber los estados que son propios del operador hamiltoniano. Estos estados, denominados [[Estado estacionario (mecánica cuántica)|estados estacionarios]], son las soluciones de la ecuación de estados y valores propios,
{{ecuación|
<math>\hat{H}|\varphi_{n}\rangle =E_{n}|\varphi_{n}\rangle </math>
||left}}
denominada habitualmente '''ecuación de Schrödinger independiente del tiempo'''. El estado propio <math>|\varphi_{n}\rangle</math> está asociado al valor propio <math>E_{n}</math>, escalar real que corresponde con la energía de la partícula en dicho estado.
Los valores de la energía pueden ser [[discreto]]s como las soluciones ligadas a un pozo de potencial (por ejemplo nivel del átomo de hidrógeno); resultando una [[cuantificación]] de los niveles de energía. Estas pueden corresponder también a un espectro continuo como las soluciones libres de un pozo de potencial (por ejemplo un electrón que tenga la suficiente energía para alejarse al infinito del núcleo de átomo de hidrógeno).
A menudo se obtiene que numerosos estados <math>|\varphi_{n}\rangle</math> corresponden a un mismo valor de la energía: hablamos entonces de niveles de energía degenerados.
De manera general, la determinación de cada uno de los estados propios del hamiltoniano, <math>|\varphi_{n}></math>, y de la energía asociada, da el estado estacionario correspondiente, solución de la ecuación de Schrödinger :
{{ecuación|
<math>|\psi_{n}(t)\rangle \,= \, |\varphi_{n}\rangle \,
\exp\left( \frac{-iE_{n}t}{\hbar} \right)</math>
||left}}
Una solución de la ecuación de Schrödinger puede entonces escribirse generalmente como una combinación lineal de tales estados:
{{ecuación|
<math>|\psi(t)\rangle \, = \, \sum_{n}\sum_{j} c_{n,j}|\varphi_{n,j}\rangle \exp \left( \frac{-iE_{n}t}{\hbar} \right)</math>
||left}}
Según los [[Formulación matemática de la mecánica cuántica|postulados de la mecánica cuántica]],
* el escalar complejo <math>c_{n,i}</math> es la amplitud del estado <math>|\psi(t)></math> sobre el estado <math>|\varphi_{n,i}></math> ;
* el real <math>\Sigma_{i}|c_{n,i}|^2</math> es la probabilidad (en el caso de un espectro discreto) de encontrar la energía <math>E_{n}</math> mientras se hace una medida de la energía sobre el sistema.
=== Rareza de una solución analítica exacta ===
La búsqueda de estados propios del hamiltoniano es en general compleja. Incluso en el caso resoluble analíticamente del átomo de hidrógeno solo es rigurosamente resoluble de forma simple si se descarta el [[electrodinámica cuántica|acoplamiento con el campo electromagnético]] que permite el paso a los estados excitados, soluciones de la ecuación de Schrödinger del átomo, desde el nivel fundamental.
Algunos modelos simples, aunque no del todo conformes con la realidad, pueden ser resueltos analíticamente y son muy útiles. Estas soluciones sirven para entender mejor la naturaleza de los fenómenos cuánticos, y en ocasiones son una aproximación razonable al comportamiento de sistemas más complejos (en [[mecánica estadística]] se aproximan las vibraciones moleculares como [[oscilador armónico|osciladores armónicos]]). Ejemplos de modelos:
* La [[partícula libre]] (potencial nulo) ;
* La [[partícula en una caja]]
* Un haz de partícula incidiendo sobre una [[barrera de potencial]]
* La [[partícula en un anillo]]
* La [[partícula en un potencial de simetría esférica]]
* El [[oscilador armónico cuántico]] (potencial cuadrático)
* El [[átomo de hidrógeno]] (potencial de simetría esférica)
* La [[partícula en una red monodimensional]] (potencial periódico)
En los otros casos, hay que usar técnicas de aproximación :
* La [[teoría perturbacional]] da expresiones analíticas en la forma de [[desarrollos asintóticos]] alrededor de un problema sin-perturbaciones que sea resoluble exactamente.
* El [[análisis numérico]] permite explorar casos inaccesibles a la teoría de perturbaciones.
* El [[método variacional]]
* Las soluciones de [[Hartree-Fock]]
* Los métodos cuánticos de [[método de Montecarlo|Montecarlo]]
== Límite clásico de la ecuación de Schrödinger ==
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