Oscilador armónico

Se dice que un sistema cualquiera, mecánico, eléctrico, neumático, etc. es un oscilador armónico si cuando se deja en libertad, fuera de su posición de equilibrio, vuelve hacia ella describiendo oscilaciones sinusoidales, o sinusoidales amortiguadas en torno a dicha posición estable.

La masa colgada del resorte forma un oscilador armónico.

El ejemplo típico es el de una masa colgada a un resorte. Cuando se aleja la masa de su posición de reposo, el resorte ejerce sobre la masa una fuerza que es proporcional al desequilibrio (distancia a la posición de reposo) y que está dirigida hacia la posición de equilibrio. Si se suelta la masa, la fuerza del resorte acelera la masa hacia la posición de equilibrio. A medida que la masa se acerca de la posición de equilibrio y que aumenta su velocidad, la energía potencial elástica del resorte se transforma en energía cinética de la masa. Cuando la masa llega a su posición de equilibrio, la fuerza será cero, pero como la masa está en movimiento, continuará y pasará del otro lado. La fuerza se invierte y comienza a frenar la masa. La energía cinética de la masa va transformándose ahora en energía potencial del resorte hasta que la masa se para. Entonces, el proceso vuelve a comenzar en dirección opuesta.

Si toda la energía cinética se transformase en energía potencial y viceversa, la oscilación seguiría eternamente con la misma amplitud. En la realidad, siempre hay una parte de la energía que se transforma en otra forma, debido a la viscosidad del aire o porque el resorte no es perfectamente elástico. Así pues, la amplitud del movimiento disminuirá más o menos lentamente con el paso del tiempo. Se empezará tratando el caso ideal, en el cual no hay pérdidas. Se analizará el caso unidimensional de un único oscilador (para la situación con varios osciladores, véase movimiento armónico complejo).

Casos

Oscilador armónico sin pérdidas

Se denominará $\scriptstyle {m}$ a la masa e $\scriptstyle {y}$ a la distancia entre la posición de la masa y la posición de equilibrio. Se supondrá que la fuerza del resorte es estrictamente proporcional al desequilibrio: $\scriptstyle {F=-ky}$ (ley de Hooke). $\scriptstyle {F}$ es la fuerza y $\scriptstyle {k}$ la constante elástica del resorte. El signo negativo indica que cuando $\scriptstyle {y}$ es positiva la fuerza está dirigida hacia las $\scriptstyle {y}$ negativas.

La segunda ley de Newton nos dice:

$F=ma=m{dv \over dt}=m{d^{2}y \over dt^{2}}$

remplazando la fuerza obtenemos:

$m{d^{2}y \over dt^{2}}=-ky$

La solución de esta ecuación diferencial es inmediata: las únicas funciones reales (no complejas) cuya segunda derivada es la misma función con el signo invertido son seno y coseno. Las dos funciones corresponden al mismo movimiento. Escogemos arbitrariamente "coseno". La solución se escribe:

La curva de arriba da la posición del oscilador en función del tiempo. La del medio da la velocidad. Abajo están las curvas de las energías. En azul está la energía cinética $\scriptstyle {{1 \over 2}mv^{2}}$ y en rojo la energía potencial del resorte $\scriptstyle {{1 \over 2}ky^{2}}$

$y=A\cos(\omega t+\phi )\,$

• $\scriptstyle {A}$ es la amplitud, que depende de las condiciones iniciales.
• $\scriptstyle {\omega =2\pi f}$ es la pulsación (o frecuencia angular) y $\scriptstyle {f}$ la frecuencia.
• $\scriptstyle {t}$ es el tiempo.
• $\scriptstyle {\phi }$ es la fase inicial (para $\scriptstyle {t=0}$).

Es fácil comprobar que el valor de $\scriptstyle {\omega }$ es:

$\omega ={\sqrt {k \over m}}$

El período de oscilación es:

$T=2\pi {\sqrt {m \over k}}$

Como ya lo hemos dicho, durante la mitad de una oscilación la energía cinética se transforma en energía potencial del resorte. Durante la otra mitad, la energía potencial se transforma en energía cinética. En la figura de la derecha se ha trazado la posición en función del tiempo (curva de arriba), la velocidad en función del tiempo (en medio) y las energías potenciales y cinéticas (abajo).

Oscilador armónico amortiguado

Oscilador armónico con amortiguador. La fuerza viscosa es proporcional a la velocidad.

Añadiendo pérdidas de energía, se consigue modelar una situación más próxima a la realidad. Así, nótese que la oscilación descrita en el apartado anterior se prolongaría indefinidamente en el tiempo (la sinusoide que describe la posición no converge a cero en ningún momento). Una situación más verosímil se corresponde con la presencia de una fuerza adicional que frena el movimiento. Esa fuerza puede ser constante (pero siempre con signo tal que frene el movimiento). Es el caso de rozamientos secos: la fuerza no depende ni de la velocidad ni de la posición. Otra situación que se produce en la realidad es que la fuerza sea proporcional a la velocidad elevada a una potencia, entera o no. Así sucede cuando la fuerza que frena proviene de la viscosidad o de las pérdidas aerodinámicas. Se tratará únicamente el caso más simple, es decir, cuando la fuerza sea proporcional a la velocidad. En este caso la fuerza será:

$F_{f}=-bv=-b{dy \over dt}$

Donde $\scriptstyle {b}$ es un coeficiente que mide el amortiguamiento debido a la viscosidad. Si $\scriptstyle {b}$ es pequeño, el sistema está poco amortiguado. Nótese el signo negativo que indica, como antes, que si la velocidad es positiva, la fuerza tiene la dirección opuesta a la velocidad. Con este término complementario la ecuación diferencial del sistema es:

$m{d^{2}y \over dt^{2}}=-ky-b{dy \over dt}$

Se trata de una ecuación diferencial ordinaria, lineal, de segundo orden​ (contiene derivadas segundas) y homogénea (no hay término independiente de $y$). Tiene tres tipos de soluciones según el valor de $\scriptstyle {b^{2}-4k}$:

• Si $\scriptstyle {b^{2}-4km>0}$ el sistema está sobreamortiguado (amortiguamiento fuerte o supercrítico)
• Si $\scriptstyle {b^{2}-4km=0}$ el sistema tiene amortiguamiento crítico.
• Si $\scriptstyle {b^{2}-4km<0}$ el sistema oscila con amplitud decreciente (amortiguamiento débil o subcrítico)

Oscilador sobreamortiguado

Posición en función del tiempo de un oscilador armónico amortiguado.

curva azul: amortiguamiento crítico.

curva roja: amortiguamiento doble que el crítico.

curva verde: amortiguamiento igual a 90% del amortiguamiento crítico.

En este caso el sistema no es realmente un oscilador, ya que no oscila. La solución es de la forma:

$y=A_{1}e^{\lambda _{1}t}+A_{1}e^{\lambda _{2}t}$

donde los coeficientes de las exponenciales son menores que cero y reales (por lo que no hay oscilación):

$\lambda _{1}={-b-{\sqrt {b^{2}-4km}} \over 2m}$

y

$\lambda _{2}={-b+{\sqrt {b^{2}-4km}} \over 2m}$

$\scriptstyle {A_{1}}$ y $\scriptstyle {A_{2}}$ dependen de las condiciones iniciales (es decir, de la situación del sistema para $\scriptstyle {t=0}$). La posición no es oscilante y tiende hacia la posición de equilibrio de manera asintótica. Las dos exponenciales decrecientes de las soluciones tienen constantes de tiempo diferentes. Una es pequeña $\scriptstyle {1/\lambda _{1}}$ y corresponde a la rápida cancelación del efecto de la velocidad inicial. La segunda $\scriptstyle {1/\lambda _{2}}$ es más grande y describe la lenta tendencia hacia la posición de equilibrio.

Oscilador con amortiguamiento crítico

Este caso es el límite entre un sistema oscilante y uno no oscilante. Ocurre cuando

$b^{2}=4km\,$

La solución única es:

$y=A_{1}e^{-{b \over 2m}t}+A_{2}te^{-{b \over 2m}t}$

como antes, $\scriptstyle {A_{1}}$ y $\scriptstyle {A_{2}}$ son constantes que dependen de las condiciones iniciales.

El amortiguamiento crítico corresponde a la tendencia más rápida hacia la situación de equilibrio sin sobrepasar esa posición. Si se disminuye un poco el amortiguamiento el sistema se acerca más rápidamente de la posición de equilibrio, pero sobrepasando la posición (oscila en torno a ese punto, tomando valores positivos y negativos).

Oscilador con amortiguamiento débil

Oscilaciones amortiguadas. La amplitud de la sinusoide está controlada por la exponecial.

En este caso, que es más interesante, tenemos un oscilador que oscila alrededor de la posición de equilibrio con amplitud decreciente. Sucede cuando:

$b^{2}<4km\,$

La solución es:

$y=Ae^{-{b \over 2m}t}\cos(\omega t+\phi )$

como antes, $\scriptstyle {A}$ y $\scriptstyle {\phi }$ son constantes que dependen de las condiciones iniciales. La pulsación es:

$\omega ={\sqrt {{k \over m}-\left({b \over 2m}\right)^{2}}}$

La pulsación del sistema amortiguado es un poco menor que la pulsación del sistema no amortiguado $\scriptstyle {\omega _{\circ }={\sqrt {k \over m}}}$ porque la fuerza que lo amortigua, frena la masa y la retarda.

La oscilación del sistema está descrita por una sinusoide de frecuencia $\scriptstyle {f={1 \over 2\pi }{\sqrt {{k \over m}-\left({b \over 2m}\right)^{2}}}}$ cuya amplitud está multiplicada por una exponencial decreciente cuya constante de tiempo es $\scriptstyle {\tau ={2m \over b}}$.

Factor de calidad Q

En un sistema poco amortiguado es interesante de definir el factor de calidad (Quality factor en inglés) o simplemente Q como:

$Q={{\sqrt {km}} \over b}$

esta cantidad es igual a $\scriptstyle {2\pi }$ veces el inverso de las pérdidas relativas de energía por período. Así, un sistema que pierde 1% de energía a cada ciclo, tendrá un Q de 628. Más interesante, Q es también $\textstyle {\pi }$ veces el número de oscilaciones que el sistema hace mientras su amplitud se divide por un factor $\textstyle {e}$. Si se puede aceptar una aproximación más grosera, Q es 3 veces el número de oscilaciones que un sistema hace mientras su amplitud cae a 1/3 de la amplitud inicial.

Como ejemplos, el Q de un vehículo con los amortiguadores en buen estado es un poco más grande que 1. El Q de una cuerda de guitarra es de varios miles. El Q de los cristales de cuarzo utilizados en electrónica como referencia de frecuencia es el orden de 1 millón. Una copa de vidrio ordinario tiene un Q mucho más pequeño que una copa de vidrio de plomo (cristal).

Oscilaciones forzadas

Podemos poner en movimiento un oscilador armónico sacándolo de su posición de equilibrio y abandonándolo a su oscilación libre (ver párrafos precedentes). También se puede poner en movimiento aplicándole una fuerza variable con el tiempo. Se tratará solo el caso en el cual la fuerza varía de manera sinusoidal con el tiempo.

En esta situación, la ecuación diferencial lineal es inhomogénea. La solución a este tipo de ecuación está formada por dos términos: la solución general del sistema homogéneo más una solución particular del caso inhomogéneo​. Por tanto, la solución está formada por dos partes, una parte transitoria (que se anula pasado cierto tiempo), similar a las que vimos en los párrafos precedentes, más una parte estacionaria. La solución de la parte transitoria es la misma la que ya hemos visto (ecuación homogénea). Las únicas diferencias son las condiciones iniciales y finales, que no son idénticas. Vamos a interesarnos a la solución estacionaria. En la ecuación diferencial del sistema hay que añadir la fuerza sinusoidal:

$m{d^{2}y \over dt^{2}}+b{dy \over dt}+ky=F_{m}\cos(\omega t)$

Para resolver esta ecuación es más interesante utilizar el mismo método que en electricidad y electrónica. Para ello, se añade a la fuerza real una fuerza imaginaria$\scriptstyle {jF_{m}\sin(\omega t)}$. Como en electrónica, se utiliza $\scriptstyle {j={\sqrt {-1}}}$ en lugar de i. Ahora la ecuación a resolver es:

$m{d^{2}y \over dt^{2}}+b{dy \over dt}+ky=F_{m}e^{j\omega t}$

Pero por supuesto, como en electricidad, sólo la parte real de y será de interés. La solución es inmediata:

$y=Ae^{j\omega t}\,$

Si se deriva esta expresión y se sustituye en la ecuación diferencial, se encuentra el valor de A:

$A={F_{m} \over k-m\omega ^{2}+jbm\omega }$

Pero A puede escribirse como $\scriptstyle {A=\rho e^{j\phi }}$ y la solución de $\scriptstyle {y}$ compleja es:

$y=\rho e^{j\phi }e^{j\omega t}=\rho e^{j\left(\omega t+\phi \right)}$

El valor de $\scriptstyle {y}$ real es la parte real de la expresión precedente:

$y=\rho \cos \left(\omega t+\phi \right)$

donde $\scriptstyle {\rho }$ es el módulo de $\scriptstyle {A}$ y $\scriptstyle {\phi }$ su argumento:

$\rho =|A|=\left|{F_{m} \over k-m\omega ^{2}+jbm\omega }\right|$

$\phi =Arg\left(A\right)=Arg\left({F_{m} \over k-m\omega ^{2}+jbm\omega }\right)$

Como en electricidad, el ángulo $\scriptstyle {\phi }$ da el desfase del movimiento con respecto a la fuerza externa. Si $\scriptstyle {\phi }$ es positivo, el movimiento está en avance de fase y si $\scriptstyle {\phi }$ es negativo el movimiento está en retardo de fase. En este caso el desfase será siempre negativo.

Respuesta en frecuencia

La amplitud de las oscilaciones forzadas dependerá, por supuesto, de la amplitud de la fuerza externa. Pero para una misma amplitud de la fuerza, la amplitud de la oscilación dependerá también de la frecuencia. Veamos como varia la amplitud $\scriptstyle {\rho }$ con $\scriptstyle {\omega }$. Utilizando la definición de frecuencia propia del sistema (sin amortiguamiento ni fuerza externa):

Respuesta en frecuencia de un oscilador armónico. A la frecuencia de resonancia, la amplitud es Q veces más grande que a muy baja frecuencia.

$\omega _{\circ }={\sqrt {k \over m}}$

se puede escribir:

$A={F_{m} \over k}{1 \over 1-\left({\omega \over \omega _{o}}\right)^{2}+j{\omega \over \omega _{o}}{\sqrt {b^{2} \over km}}}$

Si además se utiliza la definición de $\scriptstyle {Q={{\sqrt {km}} \over b}}$, se obtiene:

$A={F_{m} \over k}{1 \over 1-\left({\omega \over \omega _{o}}\right)^{2}+j{\omega \over \omega _{o}}{1 \over Q}}$

En el dibujo de derecha se ha representado la amplitud de la oscilación forzada en función de la frecuencia para varios valores del factor de calidad Q. A muy baja frecuencia la amplitud es la misma que si la fuerza fuese estática $\scriptstyle {F_{m}=kA}$, y el sistema oscilará entre las posiciones $\scriptstyle {F_{m} \over k}$ y $\scriptstyle {-{F_{m} \over k}}$. Cuando la frecuencia aumenta, la amplitud también, alcanzando un máximo cuando la frecuencia de excitación es igual a la frecuencia propia del sistema. A esa frecuencia propia también se le llama frecuencia de resonancia. También se dice que un sistema excitado a una frecuencia próxima a la frecuencia de resonancia "resuena" o "entra en resonancia". A la frecuencia de resonancia, la amplitud de las oscilaciones será Q veces más grande que la que se obtiene en baja frecuencia.

El ancho del pico de resonancia a media altura, es decir cuando la amplitud es igual a la mitad del máximo, es igual a la frecuencia de resonancia dividida por Q. Ese ancho también se llama banda pasante.

Importancia en Física

Considérese el caso de un cuerpo sometido a una fuerza unidimensional: $F(y)$. Desarrollando dicha fuerza en serie de Taylor alrededor del punto de equilibrio ($y=0$):

$F(y)=F(y=0)+y\left({\frac {dF}{dy}}\right)_{y=0}+{1 \over 2}y^{2}\left({\frac {d^{2}F}{dy^{2}}}\right)_{y=0}+...$

Como el origen es el punto de equilibrio, el primer término del desarrollo es nulo. Si las oscilaciones en torno a $y=0$ son lo suficientemente pequeñas, uno se puede quedar con la aproximación lineal y despreciar los términos de orden superior:

$F(y)\simeq \ y\left({\frac {dF}{dy}}\right)_{y=0}$

Llamándole $k$ a la derivada de la fuerza, se obtiene de nuevo la fuerza recuperadora de Hooke. Aquí radica la importancia del oscilador armónico: supone una primera aproximación para el estudio de un sistema cuando se producen pequeñas oscilaciones en torno a su posición (o estado) de equilibrio​.

Ejemplos

Circuito LC

Circuito LC sin pérdidas

Circuito LC sin pérdidas.

En la figura de la derecha se ha dibujado un circuito oscilante LC ideal, es decir sin pérdidas.

Supóngase que, en la situación inicial, el condensador está cargado a una tensión V y que en ese momento se conecta la inductancia. La tensión presente en las extremidades de la inductancia va a hacer aparecer una corriente de sentido inverso a la de la flecha del dibujo, que aumentará con el tiempo. A medida que el condensador suministra corriente a la inductancia, se descarga y la tensión disminuye. La disminución de la tensión hace que la corriente aumente menos rápidamente. La situación continua así, con la tensión del condensador que disminuye cada vez más rápidamente (porque la corriente aumenta) y la corriente que aumenta más lentamente (porque la tensión disminuye). Llega un momento en el cual el condensador está completamente descargado y la corriente ha llegado a un máximo. Ahora la corriente continúa circulando porque la inductancia se lo impone. El condensador comienza a cargarse en el otro sentido y hace aparecer una tensión en los bornes de la inductancia que hace disminuir la corriente. La situación continúa del siguiente modo: el condensador se va cargando cada vez más lentamente (porque la corriente disminuye), mientras que la corriente va disminuyendo cada vez más rápidamente (porque la tensión inversa aumenta). Así, se llega a la situación en la cual la corriente se anula y la tensión del condensador es máxima y del mismo valor que la tensión inicial, pero con sentido opuesto. La situación es análoga a la de una masa sostenida por un resorte. La inductancia juega el papel de la masa. La masa tiene inercia e impide que el movimiento cambie bruscamente. La inductancia impide que la corriente cambie bruscamente. Veamos las ecuaciones.

El comportamiento eléctrico del condensador está descrito por la ecuación: $\scriptstyle {I=C{dV \over dt}}$. El de la inductancia está descrito por $\scriptstyle {V=L{dI \over dt}}$. Como en el esquema $\scriptstyle {I}$ es positivo cuando sale del lado positivo de la inductancia, hay que agregar un signo negativo: $\scriptstyle {V=-L{dI \over dt}}$. Se tiene, pues, este sistema de ecuaciones diferenciales:

$I=C{dV \over dt}$

$V=-L{dI \over dt}$

Para eliminar $\scriptstyle {I}$, basta derivar la primera ecuación, para remplazar la derivada de I en la segunda:

$V=-LC{d^{2}V \over dt^{2}}$

que se puede escribir como:

$L{d^{2}V \over dt^{2}}=-{1 \over C}V$

Esta ecuación es la misma que la de la masa con un resorte. $\scriptstyle {V}$ es equivalente a la posición $\scriptstyle {y}$. $\scriptstyle {L}$ es equivalente a la masa $\scriptstyle {m}$ y $\scriptstyle {1 \over C}$ es equivalente a la constante del resorte $\scriptstyle {k}$.

La solución es:

$V=V_{\circ }\cos(\omega t+\phi )$

con

$\omega ={1 \over {\sqrt {LC}}}$

Como de costumbre, $\scriptstyle {V_{\circ }}$ y $\scriptstyle {\phi }$ dependen de las condiciones iniciales.

Circuito LC con pérdidas

Circuito LC con pérdidas. La resistencia da cuenta de todas la perdidas posibles.

El esquema de la derecha representa un circuito oscilante LC con pérdidas. Las pérdidas están representadas por las pérdidas en una resistencia. En un circuito real, las pérdidas provienen de resistencias en serie como la dibujada. Dichas resistencias pueden estar en el exterior de la inductancia o del condensador, pero también pueden ser resistencias internas de esos componentes. También puede haber resistencias en paralelo, perdidas en el dieléctrico del condensador o en el núcleo de la bobina (si es ferromagnético). También puede haber pérdidas por radiación de ondas electromagnéticas. La resistencia hará que la tensión sobre la bobina sea diferente de la tensión sobre el condensador. La corriente creada será menor que si no hubiese habido pérdidas y cuado la corriente cargue de nuevo el condensador, la tensión a la cual llegará será menor. Por su parte, la amplitud disminuirá y tenderá hacia cero. La ecuación del nuevo sistema es:

$L{d^{2}V \over dt^{2}}+R{dV \over dt}+{1 \over C}V=0$

La ecuación es la misma que la de una masa con un resorte y con un amortiguador. Esta vez $\scriptstyle {R}$ es el equivalente del coeficiente de rozamiento $\scriptstyle {b}$. La solución es:

$V=V_{\circ }e^{-{R \over 2L}t}\cos(\omega t+\phi )$

con

$\omega ={\sqrt {{1 \over LC}-\left({R \over 2L}\right)^{2}}}$

y

$Q={\sqrt {L \over RC}}={\omega _{\circ }L \over R}={R \over \omega _{\circ }C}$

donde $\scriptstyle {\omega _{\circ }={1 \over {\sqrt {LC}}}}$ es la frecuencia propia del circuito (sin pérdidas).

Oscilaciones forzadas de un circuito LC con pérdidas

Circuito LRC atacado por un generador sinusoidal.

El esquema de la derecha muestra un generador conetado a un circuito LC en serie. Si la tensión del generador es $\scriptstyle {V_{f}\cos(\omega t)}$, la ecuación es:

$LC{d^{2}V \over dt^{2}}+RC{dV \over dt}+V=V_{f}\cos(\omega t)$

La expresión se puede reescribir, dándole un aspecto similar a las formas precedentes:

$L{d^{2}V \over dt^{2}}+R{dV \over dt}+{1 \over C}V={V_{f} \over C}\cos(\omega t)$

Como en el ejemplo mecánico, en régimen estacionario la solución es:

$V=V_{\circ }\cos(\omega t+\phi )$

donde

$V_{\circ }=V_{f}\left|{1 \over 1-\left({\omega \over \omega _{\circ }}\right)^{2}+j{1 \over Q}{\omega \over \omega _{\circ }}}\right|$

y

$\phi =Arg\left({1 \over 1-\left({\omega \over \omega _{\circ }}\right)^{2}+j{1 \over Q}{\omega \over \omega _{\circ }}}\right)$

$\scriptstyle {\omega _{\circ }}$ y $\scriptstyle {Q}$ son los mismos que en el párrafo precedente. La amplitud de la tensión de salida es máxima a la resonancia (cuando $\scriptstyle {\omega =\omega _{\circ }}$) y vale $\scriptstyle {Q}$ veces la tensión de entrada.

Péndulos

Péndulo simple

Péndulo simple. La fuerza de restitución $\scriptstyle {\vec {F}}$ es proporcional a $\scriptstyle {\sin \theta }$ y no al ángulo $\scriptstyle {\theta }$.

Un péndulo simple es una masa puntual colgada con un hilo inextensible y sin masa. Para completar las restricciones, oscila en el vacío y en un plano. La ecuación del sistema será:

${d^{2}\theta \over dt^{2}}=-{g \over \ell }\sin \theta$

Este sistema no es un verdadero oscilador armónico ya que para que lo fuese, el término de derecha debería ser proporcional al ángulo $\scriptstyle {\theta }$. Eso significa que las oscilaciones no son perfectamente sinusoidales. Por eso, algunos puristas excluyen el péndulo simple de los osciladores armónicos. Pero si la amplitud de las oscilaciones es suficientemente pequeña, la oscilación será tan próxima a una sinusoide como se desee. Se verá más adelante el error que se comete con oscilaciones un poco más grandes. Si se acepta la aproximación de $\scriptstyle {\sin \theta }$ por $\scriptstyle {\theta }$, la ecuación resulta:

${d^{2}\theta \over dt^{2}}=-{g \over \ell }\theta$

Amplitud		Error
gr.	rad.	%
0,0	0,0000	0,0000
1,0	0,0175	0,0019
2,0	0,0349	0,0076
5.0	0,0873	0,0476
10,0	0,1745	0,1907
15,0	0,2618	0,4301
20,0	0,3491	0,7669
25,0	0,4363	1,2030

Esta vez la ecuación y la solución es la misma que en los otros ejemplos de oscilador armónico:

$\theta =\theta _{\circ }\cos(\omega t+\phi )$

Donde $\scriptstyle {\theta _{\circ }}$ es la amplitud de oscilación y

$\omega ={\sqrt {g \over \ell }}$

y el período es:

$T=2\pi {\sqrt {l \over g}}$

Cuando no se hace la aproximación el período es:

$T=2\pi {\sqrt {l \over g}}\left(1+\left({1 \over 2}\right)^{2}\sin ^{2}{\theta _{\circ } \over 2}+\left({1\cdot 3 \over 2\cdot 4}\right)^{2}\sin ^{4}{\theta _{\circ } \over 2}+\left({1\cdot 3\cdot 5 \over 2\cdot 4\cdot 6}\right)^{2}\sin ^{6}{\theta _{\circ } \over 2}+\cdots \right)\,\,$

Se puede calcular el error cometido en función de la amplitud $\scriptstyle {\theta _{\circ }}$. En la tabla de arriba figuran algunos valores.

Los pequeños valores del error cuando la amplitud es pequeña justifican que incluyamos este oscilador casi armónico en este artículo.

Péndulo físico o compuesto

El péndulo físico es un objeto real.

El péndulo físico, o péndulo compuesto es un cuerpo rígido capaz de oscilar alrededor de un eje fijo. La diferencia con el péndulo simple, que es solo una idealización, el péndulo físico es un objeto real, no puntual. El equivalente de la segunda ley de Newton, para los cuerpos en rotación es:

$J{d^{2}\theta \over dt^{2}}=\tau$

donde:

• $\scriptstyle {\theta }\,$ es el ángulo de rotación.
• $\scriptstyle {J}\,$ es el momento de inercia del cuerpo alrededor del eje de rotación.
• $\scriptstyle {\tau }\,$ es el momento o torque aplicado al objeto.

En nuestro caso el momento el igual al peso del objeto (que viene aplicado en el centro de gravedad o centro de masas) multiplicado por el brazo de palanca del peso: $\scriptstyle {\ell \sin \theta }$. $\scriptstyle {\ell }$ es la distancia entre el centro de masas y el eje de rotación. La ecuación el sistema es:

$J{d^{2}\theta \over dt^{2}}=-mg\ell \sin \theta \,$

El signo menos indica que cuando $\scriptstyle {\theta }$ es positiva, el momento trata de hacerla volver hacia las $\scriptstyle {\theta }$ negativas.

Esta ecuación es la misma que la del péndulo simple. El péndulo físico solo puede considerarse como armónico para oscilaciones de pequeña amplitud. Haciendo la misma aproximación que para el péndulo simple, es decir, aproximando el seno por el ángulo, la pulsación es:

$\omega ={\sqrt {mg\ell \over J}}\,$

y el período es:

$T=2\pi {\sqrt {J \over mg\ell }}\,$

Si no se hace la aproximación, hay que multiplicar el período por la misma serie que en el caso precedente.

Péndulo de torsión y similares

Volante de reloj con su muelle en espiral

Péndulo de torsión.

Un péndulo de torsión está compuesto de un objeto, generalmente simétrico, colgado de una varilla, un hilo metálico o una fina cinta metálica. El principal inconveniente de este péndulo es precisamente el de estar colgado. Esto impidió su utilización en relojes de pulsera o de bolsillo. Para evitar ese inconveniente se inventó el sistema de volante con muelle en espiral. Eso permitió la fabricación de relojes de viaje y de bolsillo y, sobre todo, de cronómetros marinos.

En los dos casos, si el volante se separa de la posición de equilibrio un ángulo $\scriptstyle {\theta }$, el dispositivo elástico ejerce un momento $\scriptstyle {\tau =-k\theta }$ sobre el volante. El signo menos indica que cuando $\scriptstyle {\theta }$ es positiva, el momento tiende a volver el volante hacia su posición de equilibrio. La constante k, no es la misma que la de la ecuación de la masa con un resorte. Esta vez la unidades de k son $\scriptstyle {Newton\cdot metro/radianes}$. La ecuación del sistema es:

$J{d^{2}\theta \over dt^{2}}=-k\theta \,$

Como en los ejemplos anteriores la solución es:

$\omega ={\sqrt {k \over J}}\,$

y el período es:

$T=2\pi {\sqrt {J \over k}}\,$

Esta vez el oscilador es realmente armónico. Independientemente de que se emplee el hilo o la varilla de torsión o el muelle en espiral, el momento sigue siendo proporcional al ángulo, aún para grandes ángulos. La razón es que, incluso para grandes ángulos, la deformación del material elástico es muy pequeña.

Oscilador armónico cuántico

Funciones de onda para los primeros seis autoestados, n = 0 a 5. El eje horizontal muestra la posición y en unidades (h/2πmω)^1/2. Las gráficas están sin normalizar

Densidades de probabilidad de los primeros autoestados (dimensión vertical, con los de menor energía en la parte inferior) para las diferentes localizaciones espaciales (dimensión horizontal)

Como ya se ha comentado, el oscilador armónico se puede emplear para estudiar sistemas que realicen pequeñas oscilaciones en torno a una posición de equilibrio. En particular, el oscilador armónico cuántico se puede emplear para estudiar las oscilaciones de los átomos de una molécula diatómica, como la de hidrógeno, H₂, o la de cloruro de hidrógeno, HCl​.

El oscilador armónico es uno de los casos en los que se puede obtener una solución analítica sencilla de la ecuación de Schrödinger. En esta situación, el hamiltoniano de la partícula considerada estará descrito por:

$H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}y^{2}$

Nótese que para el caso de moléculas diatómicas, la masa $m$ sería, en realidad, la masa reducida del sistema. Se ve claramente que el primer sumando es un término cinético, mientras que el segundo es el armónico. Como el hamiltoniano no depende del tiempo, sólo resta resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, a fin de hallar los autoestados de la energía $E$:

$H|\psi (y)\rangle =E|\psi (y)\rangle$

Se puede demostrar que las funciones de onda, $\psi (y)$, cuyo módulo al cuadrado describe la probabilidad de que la partícula tenga una determinada posición $y$, son el producto de exponenciales por los polinomios de Hermite. La figura de la derecha muestra la forma de dichas funciones para los seis autoestados con energía más baja (el estado de menor energía es el que figura en la parte superior de la misma). En particular, la energía del nivel n-ésimo será:

$E_{n}=\hbar \omega \left(n+{1 \over 2}\right)$

donde $\hbar$ es la constante de Planck.

Es importante señalar un par de hechos:

• Los niveles de energía se encuentran cuantizados, es decir, sólo pueden tomar una serie de valores discretos.
• El nivel mínimo de energía no es cero, sino $(1/2)\hbar \omega$. Nótese que la función de onda de dicho estado muestra que la partícula no se encuentra en todo momento en la posición de equilibrio $y=0$.

En la segunda figura, se muestran las densidades de probabilidad espacial de la partícula para los diferentes autoestados. Nótese que a medida que crece la energía del autoestado considerado (es decir, el orden $n$), las distribuciones de probabilidad tienden a concentrarse en los puntos de retorno, o máxima amplitud. Esta situación es la que se da en el caso clásico, si se define para él una densidad de probabilidad inversamente proporcional a la velocidad de la partícula en cada punto​. Por tanto, se cumple el principio de correspondencia (es decir, se pueden predecir los resultados que se obtendrían en el límite clásico).

Referencias

• Feynman, Leighton and Sands. «Lectures on physics». Addison-Wesley. ISBN 0805390456. 
• R. Resnick and D. Halliday (1996). «Physics». John Wiley & Sons. ISBN 0471832022. 
• Marion, Jerry B. (1996). «Dinámica clásica de las partículas y sistemas». Barcelona: Ed. Reverté. ISBN 84-291-4094-8. 
• Simmons, George F. (1999). «Ecuaciones Diferenciales. Con aplicaciones y notas históricas». Aravaca (Madrid): McGraw-Hill. ISBN 84-481-0045-X. 
• Tipler, Paul A. (2000). «Física para la ciencia y la tecnología (volumen 2)». Barcelona: Ed. Reverté. ISBN 84-291-4382-3. 
• Sánchez Guillén, Joaquín. Braun, Mijail A. (1993). «Física cuántica». Madrid: Alianza Editorial. ISBN 84-206-8145-8. 

Enlaces externos

• Artículo en la wikipedia en francés sobre el péndulo compuesto
• Hyperphysics (sitio en inglés)
• Oscilador armónico cuántico en Hyperphysics.
• Página (en inglés) con animaciones acerca del oscilador armónico, el péndulo simple y otros fenómenos.
• Página (en inglés) con animaciones de oscilaciones y ondas.