Sea
Φ
(
t
)
{\displaystyle \Phi (t)}
una matriz cuadrada de dimensión
n
{\displaystyle n}
x
n
{\displaystyle n}
que verifica la siguiente ecuación diferencial homogénea de primer orden:
Φ
′
(
t
)
=
A
(
t
)
Φ
(
t
)
,
t
∈
I
{\displaystyle \Phi '(t)=A(t)\Phi (t),\qquad t\in I}
,
donde
I
{\displaystyle I}
es un intervalo de la recta real y
A
(
t
)
{\displaystyle A(t)}
es una matriz cuadrada de dimensión
n
{\displaystyle n}
x
n
{\displaystyle n}
con coeficientes reales o complejos .
Entonces, si la traza de
A
(
t
)
{\displaystyle A(t)}
es integrable en
I
{\displaystyle I}
, se cumple la siguiente relación con el determinante de
Φ
(
t
)
{\displaystyle \Phi (t)}
:
det
Φ
(
t
)
=
det
Φ
(
t
0
)
exp
(
∫
t
0
t
t
r
A
(
s
)
d
s
)
,
t
,
t
0
∈
I
.
{\displaystyle \det \Phi (t)=\det \Phi (t_{0})\,\exp \left(\int _{t_{0}}^{t}trA(s)ds\right),\qquad t,t_{0}\in I.}
Demostración
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Denotamos
a
i
j
{\displaystyle a_{ij}}
y
ϕ
i
j
{\displaystyle \phi _{ij}}
como los elementos individuales de las matrices
A
(
t
)
{\displaystyle A(t)}
y
Φ
(
t
)
{\displaystyle \Phi (t)}
respectivamente. Por brevedad se omite la variable
t
{\displaystyle t}
en estas matrices y sus coeficientes.
Por la fórmula de Leibniz para el cálculo de determinantes se cumple que
(
det
Φ
)
′
=
∑
i
=
1
n
det
(
ϕ
11
ϕ
12
⋯
ϕ
1
n
⋮
⋮
⋮
ϕ
i
1
′
ϕ
i
2
′
⋯
ϕ
i
n
′
⋮
⋮
⋮
ϕ
n
1
ϕ
n
2
⋯
ϕ
n
n
)
=
det
(
ϕ
11
′
ϕ
12
′
⋯
ϕ
1
n
′
⋮
⋮
⋮
ϕ
i
1
ϕ
i
2
⋯
ϕ
i
n
⋮
⋮
⋮
ϕ
n
1
ϕ
n
2
⋯
ϕ
n
n
)
+
⋯
+
det
(
ϕ
11
ϕ
12
⋯
ϕ
1
n
⋮
⋮
⋮
ϕ
i
1
′
ϕ
i
2
′
⋯
ϕ
i
n
′
⋮
⋮
⋮
ϕ
n
1
ϕ
n
2
⋯
ϕ
n
n
)
+
⋯
+
det
(
ϕ
11
ϕ
12
⋯
ϕ
1
n
⋮
⋮
⋮
ϕ
i
1
ϕ
i
2
⋯
ϕ
i
n
⋮
⋮
⋮
ϕ
n
1
′
ϕ
n
2
′
⋯
ϕ
n
n
′
)
.
{\displaystyle (\det \Phi )'=\sum _{i=1}^{n}\det {\begin{pmatrix}\phi _{11}&\phi _{12}&\cdots &\phi _{1n}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\\phi '_{i1}&\phi '_{i2}&\cdots &\phi '_{in}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\\phi _{n1}&\phi _{n2}&\cdots &\phi _{nn}\end{pmatrix}}=\det {\begin{pmatrix}\phi '_{11}&\phi '_{12}&\cdots &\phi '_{1n}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\\phi _{i1}&\phi _{i2}&\cdots &\phi _{in}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\\phi _{n1}&\phi _{n2}&\cdots &\phi _{nn}\end{pmatrix}}+\cdots +\det {\begin{pmatrix}\phi _{11}&\phi _{12}&\cdots &\phi _{1n}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\\phi '_{i1}&\phi '_{i2}&\cdots &\phi '_{in}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\\phi _{n1}&\phi _{n2}&\cdots &\phi _{nn}\end{pmatrix}}+\cdots +\det {\begin{pmatrix}\phi _{11}&\phi _{12}&\cdots &\phi _{1n}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\\phi _{i1}&\phi _{i2}&\cdots &\phi _{in}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\\phi '_{n1}&\phi '_{n2}&\cdots &\phi '_{nn}\end{pmatrix}}.}
(1 )
En el
i
{\displaystyle i}
-ésimo sumando se aplica una combinación lineal sobre su
i
{\displaystyle i}
-ésima fila del resto de sus filas, lo que no altera su valor. Usando la ecuación diferencial de la hipótesis, que en términos de
a
i
j
{\displaystyle a_{ij}}
y
ϕ
i
j
{\displaystyle \phi _{ij}}
se escribe
ϕ
i
k
′
=
∑
j
=
1
n
a
i
j
ϕ
j
k
,
i
,
k
∈
{
1
,
…
,
n
}
,
{\displaystyle \phi '_{ik}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}\phi _{jk}\,,\qquad i,k\in \{1,\ldots ,n\},}
se obtiene la expresión del
i
{\displaystyle i}
-ésimo término de la suma anterior en función del determinante de
Φ
{\displaystyle \Phi }
:
det
(
ϕ
11
ϕ
12
⋯
ϕ
1
n
⋮
⋮
⋮
ϕ
i
1
′
ϕ
i
2
′
⋯
ϕ
i
n
′
⋮
⋮
⋮
ϕ
n
1
ϕ
n
2
⋯
ϕ
n
n
)
=
det
(
ϕ
11
ϕ
12
⋯
ϕ
1
n
⋮
⋮
⋮
ϕ
i
1
′
−
∑
j
=
1
j
≠
i
n
a
i
j
ϕ
j
1
ϕ
i
2
′
−
∑
j
=
1
j
≠
i
n
a
i
j
ϕ
j
2
⋯
ϕ
i
n
′
−
∑
j
=
1
j
≠
i
n
a
i
j
ϕ
j
n
⋮
⋮
⋮
ϕ
n
1
ϕ
n
2
⋯
ϕ
n
n
)
=
det
(
ϕ
11
ϕ
12
⋯
ϕ
1
n
⋮
⋮
⋮
a
i
i
ϕ
i
1
a
i
i
ϕ
i
2
⋯
a
i
i
ϕ
i
n
⋮
⋮
⋮
ϕ
n
1
ϕ
n
2
⋯
ϕ
n
n
)
=
a
i
i
det
Φ
.
{\displaystyle \det {\begin{pmatrix}\phi _{11}&\phi _{12}&\cdots &\phi _{1n}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\\phi '_{i1}&\phi '_{i2}&\cdots &\phi '_{in}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\\phi _{n1}&\phi _{n2}&\cdots &\phi _{nn}\end{pmatrix}}=\det {\begin{pmatrix}\phi _{11}&\phi _{12}&\cdots &\phi _{1n}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\\phi '_{i1}-\sum _{\scriptstyle j=1 \atop \scriptstyle j\neq i}^{n}a_{ij}\phi _{j1}&\phi '_{i2}-\sum _{\scriptstyle j=1 \atop \scriptstyle j\neq i}^{n}a_{ij}\phi _{j2}&\cdots &\phi '_{in}-\sum _{\scriptstyle j=1 \atop \scriptstyle j\neq i}^{n}a_{ij}\phi _{jn}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\\phi _{n1}&\phi _{n2}&\cdots &\phi _{nn}\end{pmatrix}}=\det {\begin{pmatrix}\phi _{11}&\phi _{12}&\cdots &\phi _{1n}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{ii}\phi _{i1}&a_{ii}\phi _{i2}&\cdots &a_{ii}\phi _{in}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\\phi _{n1}&\phi _{n2}&\cdots &\phi _{nn}\end{pmatrix}}=a_{ii}\det \Phi .}
Usando esto en la fórmula (1 ), se obtiene la siguiente ecuación diferencial para el determinante de
Φ
{\displaystyle \Phi }
:
(
det
Φ
)
′
=
∑
i
=
1
n
a
i
i
det
Φ
=
t
r
A
det
Φ
{\displaystyle (\det \Phi )'=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}\det \Phi =\mathrm {tr} \,A\,\det \Phi }
.
Se trata de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden separable , cuya solución es
det
Φ
(
t
)
=
det
Φ
(
t
0
)
exp
(
∫
t
0
t
t
r
A
(
s
)
d
s
)
,
t
,
t
0
∈
I
.
{\displaystyle \det \Phi (t)=\det \Phi (t_{0})\,\exp \left(\int _{t_{0}}^{t}trA(s)ds\right),\qquad t,t_{0}\in I.}
Véase también
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