En análisis numérico las fórmulas de Newton-Cotes (nombradas así por Isaac Newton y Roger Cotes ) son un grupo de fórmulas de integración numérica de tipo interpolatorio , en las cuales se evalúa la función en puntos equidistantes, para así hallar un valor aproximado de la integral.
Este método es eficiente si se conocen los valores de la función en puntos igualmente separados. Si se pueden cambiar los puntos en los cuales la función es evaluada otros métodos como la cuadratura de Gauss son probablemente más eficientes.
Introducción
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Para la integración numérica de
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
n
{\displaystyle n}
n
+
1
{\displaystyle n+1}
a
≤
x
0
<
x
1
<
…
<
x
n
≤
b
.
{\displaystyle a\leq x_{0}<x_{1}<\ldots <x_{n}\leq b.}
Si
a
=
x
0
{\displaystyle a=x_{0}}
b
=
x
n
{\displaystyle b=x_{n}}
fórmulas cerradas de Newton-Cotes ya que los intervalos de los extremos están incluidos en la integral, si por el contrario no se tienen en cuenta se denominan fórmulas abiertas de Newton-Cotes . Para el cálculo se utilizará la siguiente función:
p
(
x
)
=
∑
i
=
0
n
f
(
x
k
)
L
n
,
k
(
x
)
{\displaystyle p(x)=\sum _{i=0}^{n}f(x_{k})L_{n,k}(x)}
donde:
L
i
n
(
x
)
=
(
x
−
x
0
)
⋯
(
x
−
x
k
−
1
)
(
x
−
x
k
+
1
)
⋯
(
x
−
x
n
)
(
x
k
−
x
0
)
⋯
(
x
k
−
x
k
−
1
)
(
x
k
−
x
k
+
1
)
⋯
(
x
k
−
x
n
)
{\displaystyle L_{in}(x)={\frac {(x-x_{0})\cdots (x-x_{k-1})(x-x_{k+1})\cdots (x-x_{n})}{(x_{k}-x_{0})\cdots (x_{k}-x_{k-1})(x_{k}-x_{k+1})\cdots (x_{k}-x_{n})}}}
es el polinomio de Lagrange , por lo tanto se deduce que
∫
a
b
p
(
x
)
d
x
=
(
b
−
a
)
∑
i
=
0
n
f
(
x
k
)
1
(
b
−
a
)
∫
a
b
L
n
,
k
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle \int _{a}^{b}p(x)dx=(b-a)\sum _{i=0}^{n}f(x_{k}){\frac {1}{(b-a)}}\int _{a}^{b}L_{n,k}(x)dx.}
Esta función se expresa de la siguiente forma
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
≈
∫
a
b
p
(
x
)
d
x
=
(
b
−
a
)
∑
k
=
0
n
w
k
f
(
x
k
)
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\approx \int _{a}^{b}p(x)dx=(b-a)\sum _{k=0}^{n}w_{k}f(x_{k})}
Donde los "pesos" w k
w
k
=
1
(
b
−
a
)
∫
a
b
L
n
,
k
(
x
)
d
x
{\displaystyle w_{k}={\frac {1}{(b-a)}}\int _{a}^{b}L_{n,k}(x)dx}
Fórmulas cerradas de Newton-Cotes
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Estas son algunas de las fórmulas cerradas de Newton-Cotes.
La notación
f
i
{\displaystyle \displaystyle f_{i}}
f
(
x
i
)
{\displaystyle \displaystyle f(x_{i})}
x
i
=
a
+
i
h
{\displaystyle \displaystyle x_{i}=a+ih}
h
=
b
−
a
n
{\displaystyle \displaystyle h={\frac {b-a}{n}}}
n
{\displaystyle \displaystyle n}
Regla del trapecio
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Ilustración de la regla del trapecio. La regla del trapecio consiste en hallar la integral aproximada de una función a través de un polinomio de primer grado, es decir uniendo mediante una recta los puntos en donde se evaluara la función.
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
≈
h
2
(
f
0
+
f
1
)
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\approx {\frac {h}{2}}(f_{0}+f_{1})}
Y el error es:
−
h
3
12
f
(
2
)
(
ξ
)
{\displaystyle -{\frac {h^{3}}{12}}\,f^{(2)}(\xi )}
Siendo
ξ
{\displaystyle \xi }
a y b .
Regla de Simpson
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Ilustración de la regla de Simpson. La regla de Simpson (nombrada así por Thomas Simpson ) halla la integral aproximada de una función mediante un polinomio de segundo o tercer grado.
Regla de Simpson 1/3
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La regla de Simpson 1/3 utiliza tres puntos consecutivos en donde se evalúa la función a través de un polinomio de segundo grado.
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
≈
h
3
(
f
0
+
4
f
1
+
f
2
)
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {h}{3}}(f_{0}+4f_{1}+f_{2})}
Y el error es:
−
h
5
90
f
(
4
)
(
ξ
)
,
{\displaystyle -{\frac {h^{5}}{90}}f^{(4)}(\xi ),}
siendo
ξ
{\displaystyle \xi }
a y b .
Regla de Simpson 3/8
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La regla de Simpson 3/8 utiliza cuatro puntos consecutivos en donde se evalúa la función a través de un polinomio de tercer grado.
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
≈
3
h
8
(
f
0
+
3
f
1
+
3
f
2
+
f
3
)
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {3h}{8}}(f_{0}+3f_{1}+3f_{2}+f_{3})}
Y el error es:
−
3
h
5
80
f
(
4
)
(
ξ
)
,
{\displaystyle -{\frac {3h^{5}}{80}}f^{(4)}(\xi ),}
Siendo
ξ
{\displaystyle \xi }
a y b .
Regla de Boole
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La regla de Boole (llamada así debido a George Boole ) utiliza cinco puntos consecutivos igualmente separados para calcular la integral aproximada de la función utilizando un polinomio de cuarto grado.
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
≈
2
h
45
(
7
f
0
+
32
f
1
+
12
f
2
+
32
f
3
+
7
f
4
)
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\approx {\frac {2h}{45}}(7f_{0}+32f_{1}+12f_{2}+32f_{3}+7f_{4})}
Y el error es:
−
8
h
7
945
f
(
6
)
(
ξ
)
{\displaystyle -{\frac {8h^{7}}{945}}\,f^{(6)}(\xi )}
Siendo
ξ
{\displaystyle \xi }
a y b .
Regla de quinto orden
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La regla de quinto orden utiliza seis puntos consecutivos igualmente separados para calcular la integral aproximada de la función utilizando un polinomio de quinto grado.
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
≈
5
h
288
(
19
f
0
+
75
f
1
+
50
f
2
+
50
f
3
+
75
f
4
+
19
f
5
)
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\approx {\frac {5h}{288}}(19f_{0}+75f_{1}+50f_{2}+50f_{3}+75f_{4}+19f_{5})}
Regla de Sexto orden
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La regla de sexto orden utiliza siete puntos consecutivos igualmente separados para calcular la integral aproximada de la función utilizando un polinomio de sexto grado.
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
≈
h
140
(
41
f
0
+
216
f
1
+
27
f
2
+
272
f
3
+
27
f
4
+
216
f
5
+
41
f
6
)
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\approx {\frac {h}{140}}(41f_{0}+216f_{1}+27f_{2}+272f_{3}+27f_{4}+216f_{5}+41f_{6})}
Error para el n-ésimo orden
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Si
f
∈
C
n
+
1
[
a
,
b
]
{\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{n+1}[a,b]}
a
=
x
0
<
.
.
.
<
x
n
=
b
{\displaystyle a=x_{0}<...<x_{n}=b}
h
=
x
n
−
x
0
n
{\displaystyle h={\frac {x_{n}-x_{0}}{n}}}
x
k
=
x
0
+
k
h
{\displaystyle x_{k}=x_{0}+kh}
k
∈
{
0
,
.
.
.
,
n
}
{\displaystyle k\in \{0,...,n\}}
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
∑
k
=
0
n
w
k
f
(
x
k
)
+
f
n
+
1
(
ξ
)
(
n
+
1
)
!
∫
x
0
x
n
π
n
+
1
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=\sum _{k=0}^{n}w_{k}f(x_{k})+{\frac {f^{n+1}(\xi )}{(n+1)!}}\int _{x_{0}}^{x_{n}}\pi _{n+1}(x)dx}
para algún
ξ
∈
(
x
0
,
x
n
)
{\displaystyle \xi \in (x_{0},x_{n})}
π
n
+
1
(
x
)
=
∏
k
=
0
n
(
x
−
x
k
)
{\displaystyle \pi _{n+1}(x)=\prod _{k=0}^{n}(x-x_{k})}
w
k
=
∫
x
0
x
n
L
n
,
k
(
x
)
d
x
{\displaystyle w_{k}=\int _{x_{0}}^{x_{n}}L_{n,k}(x)dx}
Para realizar la integral
∫
x
0
x
n
π
n
+
1
(
x
)
d
x
=
∫
x
0
x
n
(
x
−
x
0
)
(
x
−
x
1
)
.
.
.
(
x
−
x
n
)
d
x
{\displaystyle \int _{x_{0}}^{x_{n}}\pi _{n+1}(x)dx=\int _{x_{0}}^{x_{n}}(x-x_{0})(x-x_{1})...(x-x_{n})dx}
x
k
=
x
0
+
k
h
{\displaystyle x_{k}=x_{0}+kh}
k
∈
{
0
,
.
.
.
,
n
}
{\displaystyle k\in \{0,...,n\}}
∫
x
0
x
n
n
(
x
−
x
0
n
)
(
n
(
x
−
x
0
n
)
−
h
)
(
n
(
x
−
x
0
n
)
−
2
h
)
.
.
.
(
n
(
x
−
x
0
n
)
−
n
h
)
d
x
{\displaystyle \int _{x_{0}}^{x_{n}}n\left({\frac {x-x_{0}}{n}}\right)\left(n\left({\frac {x-x_{0}}{n}}\right)-h\right)\left(n\left({\frac {x-x_{0}}{n}}\right)-2h\right)...\left(n\left({\frac {x-x_{0}}{n}}\right)-nh\right)dx}
Luego, sustitúyase
u
=
x
−
x
0
n
{\displaystyle u={\frac {x-x_{0}}{n}}}
∫
0
h
n
(
n
u
)
(
n
u
−
h
)
(
n
u
−
2
h
)
⋯
(
n
u
−
n
h
)
d
u
{\displaystyle \int _{0}^{h}n(nu)(nu-h)(nu-2h)\cdots (nu-nh)du}
después debe efectuarse la sustitución
y
=
n
u
{\displaystyle y=nu}
∫
0
n
h
y
(
y
−
h
)
(
y
−
2
h
)
⋯
(
y
−
n
h
)
d
y
{\displaystyle \int _{0}^{nh}y(y-h)(y-2h)\cdots (y-nh)dy}
De lo anterior, sustitúyase
t
=
y
h
{\displaystyle t={\frac {y}{h}}}
h
n
+
2
∫
0
n
t
(
t
−
1
)
(
t
−
2
)
⋯
(
t
−
n
)
d
t
=
h
n
+
2
∫
0
n
(
t
)
n
(
t
−
n
)
d
t
{\displaystyle h^{n+2}\int _{0}^{n}t(t-1)(t-2)\cdots (t-n)dt=h^{n+2}\int _{0}^{n}(t)_{n}(t-n)dt}
donde
(
t
)
n
{\displaystyle (t)_{n}}
símbolo de Pochhammer . Obsérvese que si
n
=
2
{\displaystyle n=2}
t
(
t
−
t
1
)
(
t
−
t
2
)
=
t
3
−
(
t
1
+
t
2
)
t
2
+
t
1
t
2
{\displaystyle t(t-t_{1})(t-t_{2})=t^{3}-(t_{1}+t_{2})t^{2}+t_{1}t_{2}}
n
=
3
{\displaystyle n=3}
t
(
t
−
t
1
)
(
t
−
t
2
)
(
t
−
t
3
)
=
t
4
−
(
t
1
+
t
2
+
t
3
)
t
3
+
(
t
1
t
2
+
t
1
t
3
+
t
2
t
2
)
t
2
−
t
1
t
2
t
3
{\displaystyle t(t-t_{1})(t-t_{2})(t-t_{3})=t^{4}-(t_{1}+t_{2}+t_{3})t^{3}+(t_{1}t_{2}+t_{1}t_{3}+t_{2}t_{2})t^{2}-t_{1}t_{2}t_{3}}
∑
X
∈
(
[
3
]
1
)
∏
i
∈
X
t
i
=
∏
i
∈
{
1
}
t
i
+
∏
i
∈
{
2
}
t
i
+
∏
i
∈
{
3
}
t
i
=
t
1
+
t
2
+
t
3
{\displaystyle \sum _{X\in {\tbinom {[3]}{1}}}\prod _{i\in X}t_{i}=\prod _{i\in \{1\}}t_{i}+\prod _{i\in \{2\}}t_{i}+\prod _{i\in \{3\}}t_{i}=t_{1}+t_{2}+t_{3}}
∑
X
∈
(
[
3
]
2
)
∏
i
∈
X
t
i
=
∏
i
∈
{
1
,
2
}
t
i
+
∏
i
∈
{
1
,
3
}
t
i
+
∏
i
∈
{
2
,
3
}
t
i
t
1
t
2
+
t
1
t
3
+
t
2
t
2
{\displaystyle \sum _{X\in {\tbinom {[3]}{2}}}\prod _{i\in X}t_{i}=\prod _{i\in \{1,2\}}t_{i}+\prod _{i\in \{1,3\}}t_{i}+\prod _{i\in \{2,3\}}t_{i}t_{1}t_{2}+t_{1}t_{3}+t_{2}t_{2}}
∑
X
∈
(
[
3
]
2
)
∏
i
∈
X
t
i
=
∏
i
∈
{
1
,
2
,
3
}
t
i
=
t
1
t
2
t
3
{\displaystyle \sum _{X\in {\tbinom {[3]}{2}}}\prod _{i\in X}t_{i}=\prod _{i\in \{1,2,3\}}t_{i}=t_{1}t_{2}t_{3}}
donde se define
(
X
k
)
=
{
Y
⊆
X
:
|
X
|
=
k
}
{\displaystyle {\tbinom {X}{k}}=\{Y\subseteq X:|X|=k\}}
[
n
]
=
{
1
,
2
,
.
.
.
,
n
}
{\displaystyle [n]=\{1,2,...,n\}}
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
l
∈
[
n
]
{\displaystyle l\in [n]}
∏
l
∈
[
n
]
t
(
t
−
t
l
)
=
(
∑
l
=
0
n
(
−
1
)
l
∑
X
∈
(
[
n
]
l
)
∏
i
∈
X
t
i
)
t
n
−
l
+
1
{\displaystyle \prod _{l\in [n]}t(t-t_{l})=\left(\sum _{l=0}^{n}(-1)^{l}\sum _{X\in {\tbinom {[n]}{l}}}\prod _{i\in X}t_{i}\right)t^{n-l+1}}
Si tomamos
t
i
=
i
{\displaystyle t_{i}=i}
h
n
+
2
∫
0
n
(
t
)
n
(
t
−
n
)
d
t
=
h
n
+
2
∫
0
n
∏
k
=
0
n
(
t
−
k
)
d
t
=
h
n
+
2
(
∑
k
=
0
n
(
−
1
)
k
∑
X
∈
(
[
n
]
k
)
∏
i
∈
X
i
)
∫
0
n
t
n
−
k
+
1
d
t
{\displaystyle h^{n+2}\int _{0}^{n}(t)_{n}(t-n)dt=h^{n+2}\int _{0}^{n}\prod _{k=0}^{n}(t-k)dt=h^{n+2}\left(\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\sum _{X\in {\tbinom {[n]}{k}}}\prod _{i\in X}i\right)\int _{0}^{n}t^{n-k+1}dt}
de esto se obtiene
h
n
+
2
(
∑
k
=
0
n
(
−
1
)
k
∑
X
∈
(
[
n
]
k
)
∏
i
∈
X
i
)
n
n
−
k
+
2
n
−
k
+
2
=
h
n
+
2
(
∑
k
=
0
n
(
−
1
)
k
[
n
+
1
n
−
k
+
1
]
)
n
n
−
k
+
2
n
−
k
+
2
{\displaystyle h^{n+2}\left(\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\sum _{X\in {\tbinom {[n]}{k}}}\prod _{i\in X}i\right){\frac {n^{n-k+2}}{n-k+2}}=h^{n+2}\left(\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\left[{n+1 \atop n-k+1}\right]\right){\frac {n^{n-k+2}}{n-k+2}}}
donde
[
n
k
]
{\displaystyle \left[{n \atop k}\right]}
número de Stirling de primera especie. Tengamos en consideración que el número de Stirling de primera especie con signo se escribe como
s
(
n
,
k
)
=
(
−
1
)
n
−
k
[
n
k
]
{\displaystyle s(n,k)=(-1)^{n-k}\left[{n \atop k}\right]}
(
−
1
)
(
n
+
1
)
−
(
n
−
k
+
1
)
=
(
−
1
)
k
{\displaystyle (-1)^{(n+1)-(n-k+1)}=(-1)^{k}}
h
n
+
2
(
∑
k
=
0
n
(
−
1
)
k
[
n
+
1
n
−
k
+
1
]
)
n
n
−
k
+
2
n
−
k
+
2
=
h
n
+
2
∑
k
=
0
n
s
(
n
+
1
,
n
−
k
+
1
)
n
n
−
k
+
2
n
−
k
+
2
{\displaystyle h^{n+2}\left(\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\left[{n+1 \atop n-k+1}\right]\right){\frac {n^{n-k+2}}{n-k+2}}=h^{n+2}\sum _{k=0}^{n}s(n+1,n-k+1){\frac {n^{n-k+2}}{n-k+2}}}
así, para
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
∑
k
=
0
n
w
k
f
(
x
k
)
+
(
∑
k
=
0
n
s
(
n
+
1
,
n
−
k
+
1
)
n
n
−
k
+
2
n
−
k
+
2
)
h
n
+
2
f
n
+
1
(
ξ
)
(
n
+
1
)
!
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=\sum _{k=0}^{n}w_{k}f(x_{k})+\left(\sum _{k=0}^{n}s(n+1,n-k+1){\frac {n^{n-k+2}}{n-k+2}}\right){\frac {h^{n+2}f^{n+1}(\xi )}{(n+1)!}}}
Si
f
∈
C
n
+
2
[
a
,
b
]
{\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{n+2}[a,b]}
a
=
x
0
<
.
.
.
<
x
n
=
b
{\displaystyle a=x_{0}<...<x_{n}=b}
h
=
x
n
−
x
0
n
{\displaystyle h={\frac {x_{n}-x_{0}}{n}}}
x
k
=
x
0
+
k
h
{\displaystyle x_{k}=x_{0}+kh}
k
∈
{
0
,
.
.
.
,
n
}
{\displaystyle k\in \{0,...,n\}}
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
∑
k
=
0
n
w
k
f
(
x
k
)
+
f
n
+
2
(
ξ
)
(
n
+
2
)
!
∫
x
0
x
n
x
π
n
+
1
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=\sum _{k=0}^{n}w_{k}f(x_{k})+{\frac {f^{n+2}(\xi )}{(n+2)!}}\int _{x_{0}}^{x_{n}}x\pi _{n+1}(x)dx}
para algún
ξ
∈
(
x
0
,
x
n
)
{\displaystyle \xi \in (x_{0},x_{n})}
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
∑
k
=
0
n
w
k
f
(
x
k
)
+
(
∑
k
=
0
n
s
(
n
+
1
,
n
−
k
+
1
)
n
n
−
k
+
3
n
−
k
+
3
)
h
n
+
3
f
n
+
2
(
ξ
)
(
n
+
2
)
!
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=\sum _{k=0}^{n}w_{k}f(x_{k})+\left(\sum _{k=0}^{n}s(n+1,n-k+1){\frac {n^{n-k+3}}{n-k+3}}\right){\frac {h^{n+3}f^{n+2}(\xi )}{(n+2)!}}}
para algún
ξ
∈
(
x
0
,
x
n
)
{\displaystyle \xi \in (x_{0},x_{n})}
Fórmulas abiertas de Newton-Cotes
editar
Estas son algunas de las fórmulas abiertas de Newton-Cotes.
Dada una función
f
∈
C
n
+
1
[
a
,
b
]
{\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{n+1}[a,b]}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
n
+
2
{\displaystyle n+2}
x
−
1
=
a
{\displaystyle x_{-1}=a}
x
n
+
1
=
b
{\displaystyle x_{n+1}=b}
a
=
x
−
1
<
x
0
<
.
.
.
<
x
n
<
x
n
+
1
=
b
{\displaystyle a=x_{-1}<x_{0}<...<x_{n}<x_{n+1}=b}
x
0
=
x
−
1
+
h
=
a
+
h
{\displaystyle x_{0}=x_{-1}+h=a+h}
h
=
x
n
+
1
−
x
−
1
n
+
2
{\displaystyle h={\frac {x_{n+1}-x_{-1}}{n+2}}}
x
k
=
x
0
+
k
h
{\displaystyle x_{k}=x_{0}+kh}
k
∈
{
0
,
.
.
.
,
n
}
{\displaystyle k\in \{0,...,n\}}
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
f
{\displaystyle f}
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
∑
k
=
0
n
w
k
f
(
x
k
)
+
f
n
+
1
(
ξ
)
(
n
+
1
)
!
∫
x
−
1
x
n
+
1
π
n
+
1
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=\sum _{k=0}^{n}w_{k}f(x_{k})+{\frac {f^{n+1}(\xi )}{(n+1)!}}\int _{x_{-1}}^{x_{n+1}}\pi _{n+1}(x)dx}
para algún
ξ
∈
(
x
−
1
,
x
n
+
1
)
{\displaystyle \xi \in (x_{-1},x_{n+1})}
π
n
+
1
(
x
)
=
∏
k
=
0
n
(
x
−
x
k
)
{\displaystyle \pi _{n+1}(x)=\prod _{k=0}^{n}(x-x_{k})}
w
k
=
∫
x
−
1
x
n
+
1
L
n
,
k
(
x
)
d
x
{\displaystyle w_{k}=\int _{x_{-1}}^{x_{n+1}}L_{n,k}(x)dx}
Para encontrar la expresión general del error se procede de una manera similar a la implementada para hallar la fórmula del error de las fórmulas de Newton-Cotes cerradas. Para hallar integral
∫
x
−
1
x
n
+
1
π
n
+
1
(
x
)
d
x
=
∫
x
−
1
x
n
+
1
(
x
−
x
0
)
(
x
−
x
1
)
⋯
(
x
−
x
n
)
d
x
{\displaystyle \int _{x_{-1}}^{x_{n+1}}\pi _{n+1}(x)dx=\int _{x_{-1}}^{x_{n+1}}(x-x_{0})(x-x_{1})\cdots (x-x_{n})dx}
x
k
=
x
0
+
k
h
{\displaystyle x_{k}=x_{0}+kh}
k
∈
{
0
,
.
.
.
,
n
}
{\displaystyle k\in \{0,...,n\}}
x
0
=
x
−
1
+
h
{\displaystyle x_{0}=x_{-1}+h}
x
n
=
x
n
+
1
−
h
=
x
0
+
n
h
=
x
−
1
+
(
n
+
1
)
h
{\displaystyle x_{n}=x_{n+1}-h=x_{0}+nh=x_{-1}+(n+1)h}
∫
x
−
1
x
n
+
1
(
(
n
+
2
)
(
x
−
x
−
1
n
+
2
)
−
h
)
(
(
n
+
2
)
(
x
−
x
−
1
n
+
2
)
−
2
h
)
.
.
.
(
(
n
+
2
)
(
x
−
x
−
1
n
+
2
)
−
(
n
+
1
)
h
)
d
x
{\displaystyle \int _{x_{-1}}^{x_{n+1}}\left((n+2)\left({\frac {x-x_{-1}}{n+2}}\right)-h\right)\left((n+2)\left({\frac {x-x_{-1}}{n+2}}\right)-2h\right)...\left((n+2)\left({\frac {x-x_{-1}}{n+2}}\right)-(n+1)h\right)dx}
Luego se efectúa en cambio el variable
u
=
x
−
x
−
1
n
+
2
{\displaystyle u={\frac {x-x_{-1}}{n+2}}}
∫
0
h
(
n
+
2
)
(
(
n
+
2
)
u
−
h
)
(
(
n
+
2
)
u
−
2
h
)
⋯
(
(
n
+
2
)
u
−
(
n
+
1
)
h
)
d
u
{\displaystyle \int _{0}^{h}(n+2)((n+2)u-h)((n+2)u-2h)\cdots ((n+2)u-(n+1)h)du}
luego, sustitúyase
y
=
(
n
+
2
)
u
{\displaystyle y=(n+2)u}
∫
0
(
n
+
2
)
h
(
y
−
h
)
(
y
−
2
h
)
⋯
(
y
−
(
n
+
1
)
h
)
d
y
{\displaystyle \int _{0}^{(n+2)h}(y-h)(y-2h)\cdots (y-(n+1)h)dy}
ulterior a esto sustituya
t
=
y
h
−
1
{\displaystyle t={\frac {y}{h}}-1}
∫
−
1
n
+
1
h
(
h
t
)
(
h
t
−
h
)
⋯
(
h
t
−
n
h
)
d
t
=
h
n
+
2
∫
−
1
n
+
1
t
(
t
−
1
)
⋯
(
t
−
n
)
d
t
=
h
n
+
2
∫
−
1
n
+
1
(
t
)
n
(
t
−
n
)
d
t
{\displaystyle \int _{-1}^{n+1}h(ht)(ht-h)\cdots (ht-nh)dt=h^{n+2}\int _{-1}^{n+1}t(t-1)\cdots (t-n)dt=h^{n+2}\int _{-1}^{n+1}(t)_{n}(t-n)dt}
donde
(
t
)
n
{\displaystyle (t)_{n}}
símbolo de Pochhammer . Así, la integral se puede expresar como
h
n
+
2
∫
−
1
n
+
1
(
t
)
n
(
t
−
n
)
d
t
=
h
n
+
2
∫
−
1
n
+
1
(
∑
k
=
0
n
(
−
1
)
k
∑
X
∈
(
[
n
]
k
)
∏
i
∈
X
i
)
t
n
−
k
+
1
d
t
=
h
n
+
2
(
∑
k
=
0
n
(
−
1
)
k
∑
X
∈
(
[
n
]
k
)
∏
i
∈
X
i
)
∫
−
1
n
+
1
t
n
−
k
+
1
d
t
{\displaystyle h^{n+2}\int _{-1}^{n+1}(t)_{n}(t-n)dt=h^{n+2}\int _{-1}^{n+1}\left(\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\sum _{X\in {\tbinom {[n]}{k}}}\prod _{i\in X}i\right)t^{n-k+1}dt=h^{n+2}\left(\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\sum _{X\in {\tbinom {[n]}{k}}}\prod _{i\in X}i\right)\int _{-1}^{n+1}t^{n-k+1}dt}
integrando la expresión nos queda
h
n
+
2
(
∑
k
=
0
n
(
−
1
)
k
∑
X
∈
(
[
n
]
k
)
∏
i
∈
X
i
)
(
(
n
+
1
)
n
−
k
+
2
−
(
−
1
)
n
−
k
+
2
n
−
k
+
2
)
=
h
n
+
2
∑
k
=
0
n
(
−
1
)
k
[
n
+
1
n
−
k
+
1
]
(
(
n
+
1
)
n
−
k
+
2
−
(
−
1
)
n
−
k
+
2
n
−
k
+
2
)
{\displaystyle h^{n+2}\left(\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\sum _{X\in {\tbinom {[n]}{k}}}\prod _{i\in X}i\right)\left({\frac {(n+1)^{n-k+2}-(-1)^{n-k+2}}{n-k+2}}\right)=h^{n+2}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\left[{n+1 \atop n-k+1}\right]\left({\frac {(n+1)^{n-k+2}-(-1)^{n-k+2}}{n-k+2}}\right)}
donde
[
n
k
]
{\displaystyle \left[{n \atop k}\right]}
número de Stirling de primera especie. Puesto que el número de Stirling de primera especie con signo se escribe como
s
(
n
,
k
)
=
(
−
1
)
n
−
k
[
n
k
]
{\displaystyle s(n,k)=(-1)^{n-k}\left[{n \atop k}\right]}
(
−
1
)
(
n
+
1
)
−
(
n
−
k
+
1
)
=
(
−
1
)
k
{\displaystyle (-1)^{(n+1)-(n-k+1)}=(-1)^{k}}
h
n
+
2
∑
k
=
0
n
(
−
1
)
k
[
n
+
1
n
−
k
+
1
]
(
(
n
+
1
)
n
−
k
+
2
−
(
−
1
)
n
−
k
+
2
n
−
k
+
2
)
=
h
n
+
2
∑
k
=
0
n
s
(
n
+
1
,
n
−
k
+
1
)
(
(
n
+
1
)
n
−
k
+
2
−
(
−
1
)
n
−
k
+
2
n
−
k
+
2
)
{\displaystyle h^{n+2}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\left[{n+1 \atop n-k+1}\right]\left({\frac {(n+1)^{n-k+2}-(-1)^{n-k+2}}{n-k+2}}\right)=h^{n+2}\sum _{k=0}^{n}s(n+1,n-k+1)\left({\frac {(n+1)^{n-k+2}-(-1)^{n-k+2}}{n-k+2}}\right)}
de esta manera, para
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
∑
k
=
0
n
w
k
f
(
x
k
)
+
∑
k
=
0
n
s
(
n
+
1
,
n
−
k
+
1
)
(
(
n
+
1
)
n
−
k
+
2
−
(
−
1
)
n
−
k
+
2
n
−
k
+
2
)
h
n
+
2
f
n
+
1
(
ξ
)
(
n
+
1
)
!
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=\sum _{k=0}^{n}w_{k}f(x_{k})+\sum _{k=0}^{n}s(n+1,n-k+1)\left({\frac {(n+1)^{n-k+2}-(-1)^{n-k+2}}{n-k+2}}\right){\frac {h^{n+2}f^{n+1}(\xi )}{(n+1)!}}}
Supongamos que
f
{\displaystyle f}
f
∈
C
n
+
2
[
a
,
b
]
{\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{n+2}[a,b]}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
n
+
2
{\displaystyle n+2}
x
−
1
=
a
{\displaystyle x_{-1}=a}
x
n
+
1
=
b
{\displaystyle x_{n+1}=b}
a
=
x
−
1
<
x
0
<
.
.
.
<
x
n
<
x
n
+
1
=
b
{\displaystyle a=x_{-1}<x_{0}<...<x_{n}<x_{n+1}=b}
x
0
=
x
−
1
+
h
=
a
+
h
{\displaystyle x_{0}=x_{-1}+h=a+h}
h
=
x
n
+
1
−
x
−
1
n
+
2
{\displaystyle h={\frac {x_{n+1}-x_{-1}}{n+2}}}
x
k
=
x
0
+
k
h
{\displaystyle x_{k}=x_{0}+kh}
k
∈
{
0
,
.
.
.
,
n
}
{\displaystyle k\in \{0,...,n\}}
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
∑
k
=
0
n
w
k
f
(
x
k
)
+
f
n
+
2
(
ξ
)
(
n
+
2
)
!
∫
x
−
1
x
n
+
1
x
π
n
+
1
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=\sum _{k=0}^{n}w_{k}f(x_{k})+{\frac {f^{n+2}(\xi )}{(n+2)!}}\int _{x_{-1}}^{x_{n+1}}x\pi _{n+1}(x)dx}
para algún
ξ
∈
(
x
−
1
,
x
n
+
1
)
{\displaystyle \xi \in (x_{-1},x_{n+1})}
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
∑
k
=
0
n
w
k
f
(
x
k
)
+
∑
k
=
0
n
s
(
n
+
1
,
n
−
k
+
1
)
(
(
n
+
1
)
n
−
k
+
3
−
(
−
1
)
n
−
k
+
3
n
−
k
+
3
)
h
n
+
3
f
n
+
2
(
ξ
)
(
n
+
2
)
!
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=\sum _{k=0}^{n}w_{k}f(x_{k})+\sum _{k=0}^{n}s(n+1,n-k+1)\left({\frac {(n+1)^{n-k+3}-(-1)^{n-k+3}}{n-k+3}}\right){\frac {h^{n+3}f^{n+2}(\xi )}{(n+2)!}}}
para algún
ξ
∈
(
x
−
1
,
x
n
+
1
)
{\displaystyle \xi \in (x_{-1},x_{n+1})}
Ilustración de la regla del punto medio. En este método se divide la función en rectángulos, los cuales deben tener una altura igual al valor de la función en el punto medio. Así se calcularía la integral aproximada mediante un polinomio de grado cero.
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
∼
(
b
−
a
)
f
(
a
+
b
2
)
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\sim (b-a)f\left({\frac {a+b}{2}}\right)}
Y el error es:
(
b
−
a
)
3
24
f
(
2
)
(
ξ
)
{\displaystyle {\frac {(b-a)^{3}}{24}}\,f^{(2)}(\xi )}
Para algún
ξ
∈
(
a
,
b
)
{\displaystyle \xi \in (a,b)}
Reglas compuestas
editar
Las fórmulas de Newton-Cotes aumentan su precisión si se aumenta el número de intervalos en que se divida la función, dicho de otra forma mientras los intervalos sean cada vez más pequeños. Como el intervalo
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
reglas compuestas . Cabe anotar que la precisión aumenta pero a costa de disminuir la eficiencia del método en cuanto al tiempo de duración y a posibles errores de redondeo.
Regla del trapecio compuesta
editar
Este es un ejemplo de regla compuesta.
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
∼
b
−
a
n
(
f
(
a
)
+
f
(
b
)
2
+
∑
i
=
1
n
−
1
f
(
x
i
)
)
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\sim {\frac {b-a}{n}}\left({\frac {f(a)+f(b)}{2}}+\sum _{i=1}^{n-1}f(x_{i})\right)}
Donde
x
i
=
a
+
i
×
h
{\displaystyle \displaystyle x_{i}=a+i\times h}
tal que
x
0
<
x
1
<
…
<
x
n
−
1
<
x
n
{\displaystyle \ x_{0}<x_{1}<\ldots <x_{n-1}<x_{n}}
a
=
x
0
,
x
n
=
b
{\displaystyle \ a=x_{0},\;x_{n}=b}
siendo:
h
=
b
−
a
n
{\displaystyle \ h={\frac {b-a}{n}}}
Enlaces externos
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![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{n+1}[a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/159db30a6c091e4890d2ebf5c16be1ad2361b77a)
![{\displaystyle \sum _{X\in {\tbinom {[3]}{1}}}\prod _{i\in X}t_{i}=\prod _{i\in \{1\}}t_{i}+\prod _{i\in \{2\}}t_{i}+\prod _{i\in \{3\}}t_{i}=t_{1}+t_{2}+t_{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63965a1222023c02883d889e11cbcb03f6fa364f)
![{\displaystyle \sum _{X\in {\tbinom {[3]}{2}}}\prod _{i\in X}t_{i}=\prod _{i\in \{1,2\}}t_{i}+\prod _{i\in \{1,3\}}t_{i}+\prod _{i\in \{2,3\}}t_{i}t_{1}t_{2}+t_{1}t_{3}+t_{2}t_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c8e45de9a6588698ca36da3115c5f432fb98791)
![{\displaystyle \sum _{X\in {\tbinom {[3]}{2}}}\prod _{i\in X}t_{i}=\prod _{i\in \{1,2,3\}}t_{i}=t_{1}t_{2}t_{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2f894558753410d77aeb7e64409248a502fa2bf)
![{\displaystyle [n]=\{1,2,...,n\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb2f5d68581faa3fe9fe56cc1e3eca350ba6de58)
![{\displaystyle l\in [n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e2054dc6fec96cbfd81c9ba12e2044e8c67f297)
![{\displaystyle \prod _{l\in [n]}t(t-t_{l})=\left(\sum _{l=0}^{n}(-1)^{l}\sum _{X\in {\tbinom {[n]}{l}}}\prod _{i\in X}t_{i}\right)t^{n-l+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/485b950a026766f1ddcffea35539435aae8b257c)
![{\displaystyle h^{n+2}\int _{0}^{n}(t)_{n}(t-n)dt=h^{n+2}\int _{0}^{n}\prod _{k=0}^{n}(t-k)dt=h^{n+2}\left(\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\sum _{X\in {\tbinom {[n]}{k}}}\prod _{i\in X}i\right)\int _{0}^{n}t^{n-k+1}dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2740f2d95cb623f0a4814fac65f4430fedad7818)
![{\displaystyle h^{n+2}\left(\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\sum _{X\in {\tbinom {[n]}{k}}}\prod _{i\in X}i\right){\frac {n^{n-k+2}}{n-k+2}}=h^{n+2}\left(\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\left[{n+1 \atop n-k+1}\right]\right){\frac {n^{n-k+2}}{n-k+2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03522985958418092f01a7d1bf805561d35e5f2c)
![{\displaystyle \left[{n \atop k}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53e244be41a40ffd185e9edea632ba557f6ad945)
![{\displaystyle s(n,k)=(-1)^{n-k}\left[{n \atop k}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04d83e935aa8cd80b9ac204d72abf622742a980a)
![{\displaystyle h^{n+2}\left(\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\left[{n+1 \atop n-k+1}\right]\right){\frac {n^{n-k+2}}{n-k+2}}=h^{n+2}\sum _{k=0}^{n}s(n+1,n-k+1){\frac {n^{n-k+2}}{n-k+2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0617ed046009d5875ebc59211e0fed7aff56ef08)
![{\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{n+2}[a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e31f845d7b445be5933c10d7c370e5d4bff6d8c2)
![{\displaystyle h^{n+2}\int _{-1}^{n+1}(t)_{n}(t-n)dt=h^{n+2}\int _{-1}^{n+1}\left(\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\sum _{X\in {\tbinom {[n]}{k}}}\prod _{i\in X}i\right)t^{n-k+1}dt=h^{n+2}\left(\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\sum _{X\in {\tbinom {[n]}{k}}}\prod _{i\in X}i\right)\int _{-1}^{n+1}t^{n-k+1}dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fa02851c40dccf8864b83e8b34689bee84b83ee)
![{\displaystyle h^{n+2}\left(\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\sum _{X\in {\tbinom {[n]}{k}}}\prod _{i\in X}i\right)\left({\frac {(n+1)^{n-k+2}-(-1)^{n-k+2}}{n-k+2}}\right)=h^{n+2}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\left[{n+1 \atop n-k+1}\right]\left({\frac {(n+1)^{n-k+2}-(-1)^{n-k+2}}{n-k+2}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e8be81e26d53f6b6571fbac9be46401de722579)
![{\displaystyle h^{n+2}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\left[{n+1 \atop n-k+1}\right]\left({\frac {(n+1)^{n-k+2}-(-1)^{n-k+2}}{n-k+2}}\right)=h^{n+2}\sum _{k=0}^{n}s(n+1,n-k+1)\left({\frac {(n+1)^{n-k+2}-(-1)^{n-k+2}}{n-k+2}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a58a2f61f7c7db08bb44b3fe11be99e0b521269)
Datos: Q944241