Frío y calor (teoría de juegos combinatorios)

En la teoría de juegos combinatorios, enfriar, calentar y sobrecalentar son operaciones en juegos calientes para hacerlos más adaptables a los métodos tradicionales de la teoría, que fue originalmente ideada para juegos fríos en los que el ganador es el último jugador en tener un movimiento legal.​ El sobrecalentamiento se generalizó por Elwyn Berlekamp para el análisis de Blockbusting.​ El enfriamiento (o unheating) y el calentamiento son variantes utilizadas en el análisis de la fase final del go.​​

La refrigeración y el enfriamiento pueden considerarse como un impuesto sobre el jugador que se mueve, haciéndolo pagar por el privilegio de hacerlo, mientras que la calefacción, el calentamiento y el sobrecalentamiento son operaciones que invierten más o menos el enfriamiento y el enfriamiento.

Operaciones básicas: refrigeración, calefacción

El juego enfriado $G_{t}$ ("$G$ enfriado por $t$") para un juego $G$ y un número (surreal) $t$ está definido por​

$G_{t}={\begin{cases}\{G_{t}^{L}-t\mid G_{t}^{R}+t\}&{\text{ para todos los números }}t\leq {\text{ cualquier número }}\tau {\text{ para el cual }}G_{\tau }{\text{ está infinitesimalmente cerca de algún número }}m{\text{ , }}\\G_{t}=m&{\text{ para }}t>\tau \end{cases}}$.

La cantidad $t$ por la cual $G$ e enfría se conoce como temperatura; el mínimo $\tau$ por la cual $G_{\tau }$ está infinitesimalmente cerca de $m$ se conoce como la temperatura $t(G)$ de $G$; $G$ se dice que se congela a

$G_{\tau }$; $m$ es el valor medio (o simplemente la media) de $G$.

La calefacción es la inversa de la refrigeración y se define como la "integral"​

$\int ^{t}G={\begin{cases}G&{\text{ if }}G{\text{ is a number, }}\\\{\int ^{t}(G^{L})+t\mid \int ^{t}(G^{R})-t\}&{\text{ otherwise. }}\end{cases}}$

Multiplicación y sobrecalentamiento

La multiplication de Norton es una extensión de la multiplicación a un juego $G$ y un juego positivo $U$ (la "unidad") definida por​

$G.U={\begin{cases}G\times s&{\text{ (i.e. the sum of }}G{\text{ copies of }}s{\text{) if }}G{\text{ is a non-negative integer, }}\\-G\times -s&{\text{ if }}G{\text{ is a negative integer, }}\\\{G^{L}.U+(U+I)\mid G^{R}.U-(U+I)\}{\text{ where }}I{\text{ ranges over }}\Delta (U)&{\text{ otherwise. }}\end{cases}}$

Los incentivos $\Delta (U)$ de un juego $U$ se definen como $\{u-U:u\in U^{L}\}\cup \{U-u:u\in U^{R}\}$.

El sobrecalentamiento es una extensión de la calefacción utilizada en la solución del Blockbusting de Berlekamp, donde $G$ recalentado de $s$ a $t$ está definido para juegos arbitrarios $G,s,t$ con $s>0$ como​

$\int _{s}^{t}G={\begin{cases}G.s&{\text{ si }}G{\text{ es un entero, }}\\\{\int _{s}^{t}(G^{L})+t\mid \int _{s}^{t}(G^{R})-t\}&{\text{ de lo contrario. }}\end{cases}}$

Winning Ways for your Mathematical Plays también define el sobrecalentamiento de un juego $G$ por un juego positivo $X$, como​

$\int _{0}^{t}G=\{\int _{0}^{t}(G^{L})+X\mid \int _{0}^{t}(G^{R})-X\}$

Téngase en cuenta que en esta definición los números no se tratan de manera diferente a los juegos arbitrarios, y que el "límite inferior" 0 lo distingue de la definición anterior de Berlekamp

Operationes para el go: enfriamiento y calentamiento

El enfriamiento es una variante del enfriamiento por $1$ se utiliza para analizar el final de go y está definido por​

$f(G)={\begin{cases}m&{\text{ Si }}G{\text{ es de la forma }}m{\text{ o }}m*{\text{ , }}\\\{f(G^{L})-1\mid F(G^{R})+1\}&{\text{ de lo contrario}}.\end{cases}}$

Esto es equivalente a enfriar por $1$ cuando $G$ es una "posición de go incluso elemental en forma canónica".​

El calentamiento es un caso especial de sobrecalentamiento, a saber $\int _{1*}^{1}$, normalmente escrito simplemente como $\int$ que invierte el enfriamiento cuando $G$ es una "posición de go incluso elemental en forma canónica". En este caso, la definición anterior se simplifica a la forma​

$\int G={\begin{cases}G&{\text{ Si }}G{\text{ es un entero par, }}\\G*&{\text{ Si }}G{\text{ es un entero impar, }}\\\{\int (G^{L})+1\mid \int (G^{R})-1\}&{\text{ otro caso. }}\end{cases}}$

Enlaces externos

• Temperatures of Combinatorial Games, por Elwyn Berlekamp — PDF (480 KB)

• Datos: Q60790852