Función sobreyectiva

En matemáticas, una función:

Ejemplo de función sobreyectiva (no inyectiva).

${\begin{aligned}f:X&\longrightarrow Y\\x&\longmapsto f(x)\end{aligned}}$

es sobreyectiva,​ epiyectiva, suprayectiva,​ suryectiva, exhaustiva,​ onto o subyectiva si está aplicada sobre todo el codominio, es decir, cuando cada elemento de $Y$ es la imagen de como mínimo un elemento de $\scriptstyle X$.

Formalmente,

$\forall y\in Y\quad \exists x\in X:\quad f(x)=y$

Para todo y de Y existe x de X, que cumple que la función: f de x es igual a y.

Definición

Una función sobreyectiva es una función cuya imagen es igual a su codominio. Equivalentemente, una función $f$ con dominio $X$ y codominio $Y$ es sobreyectiva si para cada $y$ en $Y$ existe al menos una $x$ en $X$ tal que $f(x)=y$.

Simbólicamente

Si $f:X\to Y$ entonces se dice que $f$ es sobreyectiva si

$\forall \;y\in Y,\exists \;x\in X:f(x)=y$

Notación

En ocasiones para denotar que una función $f:X\to Y$ es sobreyectiva se utiliza la notación:

$f:X\twoheadrightarrow Y$

Cardinalidad y sobreyectividad

Dados dos conjuntos $A$ y $B$, entre los cuales existe una función sobreyectiva $f:A\to B$, se tiene que los cardinales cumplen:

${\mbox{card}}(A)\geq {\mbox{card}}(B)$

Si además existe otra aplicación sobreyectiva $g:B\to A$, entonces puede probarse que existe una aplicación biyectiva entre $A$ y $B$, por el teorema de Cantor-Bernstein-Schröder.

Véase también

• Función inyectiva
• Función biyectiva

Bibliografía

• Bourbaki, Nicolas (2004) [1968]. Theory of Sets. Springer. ISBN 978-3-540-22525-6. 

• Datos: Q229102
• Multimedia: Surjectivity / Q229102