Hipopoda

En geometría, una hipopoda (del griego antiguo ἱπποπέδη, vínculo para inmovilizar las patas de un caballo) es un curva plana determinada por una ecuación de la forma

Hipopoda (rojo) dada como podaria de una elipse (negro). La ecuación de la hipopoda es 4x²+y²=(x²+y²)².

$(x^{2}+y^{2})^{2}=cx^{2}+dy^{2}$,

donde se supone que c > 0 y que c > d, ya que los casos restantes se reducen a un solo punto o se pueden expresar en la forma dada mediante una rotación. Las hipopodas son curvas algebraicas racionales bicirculares de grado 4, simétricas con respecto a los ejes x e y.

Casos especiales

• Cuando d > 0, la curva tiene una forma ovalada y se conoce a menudo como óvalo de Booth.
• Cuando d < 0, la curva se asemeja a una figura con forma de ocho, o lemniscata, y en ocasiones se denomina lemniscata de Booth (ambas en referencia al matemático del siglo XIX James Booth, que estudió estas curvas).
• Las hipopodas también fueron investigadas por Proclo (por lo que a veces también se las llama Hipopodas de Proclo) y Eudoxo. Para d = −c, la hipopoda se corresponde con la lemniscata de Bernoulli.

Definición como secciones espíricas

Hipopodas con a = 1, b = 0.1, 0.2, 0.5, 1.0, 1.5, y 2.0.

Hipopodas con b = 1, a = 0.1, 0.2, 0.5, 1.0, 1.5, y 2.0.

Las hipopodas se pueden definir como la curva formada por la intersección de un toro y un plano, donde el plano es paralelo al eje del toro y tangente a él en el círculo interior. Por lo tanto, es un spira de Perseo que a su vez es un tipo de sección tórica.

Si se gira un círculo con radio a alrededor de un eje a la distancia b desde su centro, entonces la ecuación de la hipopoda resultante en coordenadas polares es

$r^{2}=4b(a-b\operatorname {sen} ^{2}\theta )$

o en coordenadas cartesianas

$(x^{2}+y^{2})^{2}+4b(b-a)(x^{2}+y^{2})=4b^{2}x^{2}$.

Debe tenerse en cuenta que cuando a > b, el toro se interseca a sí mismo, por lo que no se parece a la imagen habitual de un toro.

Véase también

• Anexo:Lista de curvas
• Toro (geometría)
• Lemniscata
• Óvalo de Cassini
• Spira de Perseo

Referencias

• Lawrence JD. (1972) Catálogo de curvas planas especiales , Dover. Pp. 145 & ndash; 146.
• Booth J. Un tratado sobre algunos nuevos métodos geométricos , Longmans, Green, Reader y Dyer, Londres, vol. I (1873) y vol. II (1877).
• Weisstein, Eric W. «Hippopede». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• "Hippopede" en 2dcurves.com
• "Courbes de Booth" en la Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables

Enlaces externos

• "The Hippopede of Proclus" en The National Curve Bank

• Datos: Q1205428