Implicación opuesta

En razonamiento formal, la implicación opuesta ( $\leftarrow$ ), conversa o recíproca, entre dos proposiciones es un conector lógico cuyo valor de la verdad resulta en falso sólo si la implicación es falsa mientras la condición es cierta, y en cierto de cualquier otra forma. Existen diferentes contextos donde se utiliza la implicación opuesta.

Implicación opuesta
Diagrama de Venn de la conectiva
Nomenclatura
Lenguaje natural	A si B B solo si A
Lenguaje formal	$A\leftarrow B$
Tabla de verdad
${\begin{array}{c|c||c}A&B&A\leftarrow B\\\hline V&V&V\\V&F&V\\F&V&F\\F&F&V\\\end{array}}$

En otras palabras:

• que suceda B es condición suficiente para que suceda A, y
• que suceda A es condición necesaria para que suceda B; esto es, si no ocurre A, entonces, no ocurre B.

Ejemplo: No hay vida sin atmósfera.

A: Hay atmósfera B: Hay vida

(A←B)

que podría también interpretarse en español como: «Hay atmósfera si hay vida», «Hay vida solo si hay atmósfera», «Si no hay atmósfera, entonces, no hay vida».

Definición

Siendo ${\mathcal {P}}=\{V,F\}$, el conjunto de los valores de verdad de la lógica bivalente, la implicación opuesta, $\leftarrow$, es la función de verdad:

${\begin{array}{rccl}\leftarrow :&{\mathcal {P}}\times {\mathcal {P}}&\longrightarrow &{\mathcal {P}}\\&(a,b)&\mapsto &c=a\leftarrow b\end{array}}$

Siendo una aplicación matemática definida de ${\mathcal {P}}\times {\mathcal {P}}$ sobre ${\mathcal {P}}$, de modo que a cada par ordenado $(a,b)\,$ de ${\mathcal {P}}\times {\mathcal {P}}$ se le asocia un único $c\,$ de ${\mathcal {P}}$, expresado $c=a\leftarrow b$.

$\forall (a,b)\in {\mathcal {P}}\times {\mathcal {P}}\quad :\quad \exists !\;c\in {\mathcal {P}}\quad /\quad c=a\leftarrow b$

La implicación opuesta solamente es falsa cuando la primera proposición es falsa y la segunda verdadera; para los demás casos, es verdadera. No es conmutativa, esto es, dadas dos proposiciones $p$ y $q$, $p\leftarrow q$ y $q\leftarrow p$ no son lógicamente equivalentes.

Véase también

• Conversión lógica
• Álgebra de Boole
• Lógica proposicional
• Puerta lógica
• Implicación
• Operador a nivel de bits

Enlaces externos

• Lógica de enunciados

Bibliografía

• Nachbin, Leopoldo (1986). Álgebra elemental. Rochester, Nueva York: Eva V. Chesnau. Edición de la OEA, traducida al español por César E. Silva.
• Libros relacionados en formato PDF

• Datos: Q5166460
• Multimedia: Converse implication / Q5166460