En la teoría de polinomios, el lema de Gauss, o Criterio de la irreducibilidad de Gauss, afirma que si es un dominio de factorización única (DFU) y es su cuerpo de cocientes (o cuerpo de fracciones), entonces el contenido de dos polinomios dados con coeficientes en es el producto de contenidos y todo polinomio primitivo es irreducible en si y sólo si lo es en .
El Criterio de irreducibilidad de Gauss proporciona un resultado muy útil para demostrar ciertas propiedades de divisibilidad en anillos de polinomios: por la equivalencia que señala el criterio entre la irreducibilidad de un polinomio primitivo en y la irreducibilidad del mismo polinomio en , puede demostrarse que al ser un DFU también lo es .
Así, se tiene como corolario que si es un DFU entonces también lo es , sea o no este último anillo un dominio de ideales principales (DIP). Por ejemplo, no es un DIP pero sí es un DFU.
Hallemos las raíces racionales del polinomio racional
Limpiando los denominadores de se obtiene el polinomio entero con las mismas raíces:
Claramente, 0 es raíz de multiplicidad 3 de (y de ), y las restantes raíces racionales son las de
Aquí, y .
Los divisores de son y los divisores de son , luego las raíces racionales se buscan en el conjunto:
Chequeando uno obtiene que y .
Así, las raíces racionales distintas de son y , para conocer con que multiplicidad, se puede o bien dividir por y volver a evaluar el cociente en y . O bien también se puede derivar :
y se tiene que mientras que . O sea es raíz de multiplicidad ≥ 2 y es raíz simple.
Volviendo a derivar : y .
Se concluye que -1 es raíz doble de .
Finalmente la factorización de en es:
Y dado que , resulta la siguiente factorización de en :
![{\displaystyle p\in D[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/560dc3ae11ad50a9bc6e6bf4224917d01eb76584)
![{\displaystyle ~D[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1db4d5779d21c04db0ec872e5d60aabd9c3338e)
![{\displaystyle \mathbb {K} [x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a2c677cb3a6dab9be8d09aa08d78a137e17d894)
![{\displaystyle D[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2f426164d64425e649e64ff77367cc98504d75e)
![{\displaystyle \mathbb {Z} [x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d4da3ac703cc7721ebba91a53f6752de7157124)
![{\displaystyle \mathbb {Q} [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59f611a32bc84287517e9f4b283ac998c0394479)
Datos: Q587938