Ley del péndulo

Consideremos un péndulo cuyo brazo mide l, en el campo gravitacional de intensidad g (usualmente: 9,81 m.s^-2), y sujeto a pequeñas oscilaciones.
El período T de oscilación del péndulo es dado por la fórmula:

$T=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}$

Prueba

Sea θ el ángulo en radianes que hace el brazo con la vertical y m la masa del péndulo, al extremo de su brazo, que se mueve con la velocidad : v = l·θ'.

La energía cinética del péndulo es:

(1)$E_{c}={\frac {mv^{2}}{2}}={\frac {ml^{2}\theta ^{\prime 2}}{2}}$

Se puede tomar su energía potencial igual a:

(2)$E_{p}=-mgl\cos(\theta )$

Este sistema no pierde energía, por la suma de energía cinética y potencia es constante (3)

(3)$E_{c}+E_{p}$

Al derivar (3) se obtiene:

(4)$ml^{2}\theta ^{\prime }\theta ^{\prime \prime }+mgl\theta ^{\prime }\sin(\theta )=0$

Se puede simplificar (4) por m·l (no nulos) y por θ' (no idénticamente nulo), lo que da:

(5)$l\theta ^{\prime \prime }+g\sin(\theta )=0$

Como se supone que θ es siempre pequeño, se puede reemplazar sen θ por θ cometiendo un error del orden de θ³ (porque sin θ = θ + O(θ³)).

Entonces (5) equivale a:

(6)$l\theta ^{\prime \prime }+g\theta =0$ o sea $\theta ^{\prime \prime }=-\left(g/l\right)\theta$

Un movimiento oscilatorio sigue la ley

$\theta =\theta _{M}\sin(\omega t+\phi )$

lo que implica que

(7)$\theta ^{\prime \prime }=\omega ^{2}\theta$

donde $\omega$es la velocidad angular de la ley y $\theta _{M}$ el ángulo máximo.

Identificando (6) y (7) se obtiene $\omega ^{2}={\frac {g}{l}}$, es decir $\omega ={\sqrt {\frac {g}{l}}}$.

Concluimos recordando que $T={\frac {2\pi }{\omega }}$.

• Datos: Q5974404