Par ordenado

En matemáticas, un par ordenado es una pareja de objetos matemáticos, en la que se distingue un elemento y otro. El par ordenado cuyo primer elemento es $a$ y cuyo segundo elemento es $b$ se denota como $(a,b)$.

Ejemplos de ocho puntos localizados en el plano cartesiano mediante pares ordenados

Un par ordenado $(a,b)$ no es el conjunto que contiene a los elementos $a$ y $b$, denotado por $\{a,b\}$. Un conjunto está definido únicamente por sus elementos, mientras que en un par ordenado el orden de estos es también parte de su definición. Por ejemplo, los conjuntos $\{0,1\}$ y $\{1,0\}$ son idénticos, pero los pares ordenados $(0,1)$ y $(1,0)$ son distintos.

Los pares ordenados también se denominan tuplas o vectores dimensionales. La noción de una colección finita de objetos ordenada puede generalizarse a más de dos objetos, dando lugar al concepto de n-tupla.

El producto cartesiano de conjuntos, las relaciones binarias, las coordenadas cartesianas, las fracciones y las funciones se definen en términos de pares ordenados.

Definición

La propiedad característica que define un par ordenado es la condición para que dos de ellos sean idénticos:

Dos pares ordenados (a, b) y (c, d) son idénticos si y solo si coinciden sus primer y segundo elemento respectivamente: $(a,b)=(c,d)\ {\text{ si y solo si }}\ a=c\ {\text{ y }}\ b=d\!$

Los elementos de un par ordenado también se denominan componentes.

Producto cartesiano

Dados dos conjuntos X e Y, la colección de todos los pares ordenados (x, y), formados con un primer elemento en X y un segundo elemento en Y, se denomina el producto cartesiano de X e Y, y se denota X × Y. El producto cartesiano de conjuntos permite definir relaciones y funciones.

Generalizaciones

Es habitual trabajar con colecciones ordenadas de más de dos objetos, sin más que extender la definición del par ordenado. Por ejemplo, un trío ordenado o terna ordenada es una terna de objetos matemáticos en la que se distinguen un primer, segundo y tercer elemento. La propiedad principal de un trío ordenado es entonces:

$(a_{1},a_{2},a_{3})=(b_{1},b_{2},b_{3}){\text{ si y solo si }}a_{1}=b_{1},\ a_{2}=b_{2}{\text{ y }}a_{3}=b_{3}$

En general se puede adoptar una definición similar para un número cualquiera de elementos n, dando lugar así a una n-tupla.

Definición conjuntista

La condición de igualdad entre pares ordenados es su única propiedad matemática relevante.​ Sin embargo, en teoría de conjuntos se construyen todos los objetos matemáticos a partir de conjuntos: números, funciones, etc. En este contexto, se define par ordenado como un conjunto particular de tal manera que su relación de igualdad sea la correcta.

La definición conjuntista habitual, debida a Kuratowski, es:​

$(a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\}\!$

Mediante el axioma de extensionalidad y el axioma del par puede demostrarse que este término define un conjunto, con la propiedad característica del par ordenado .​

Esquemas sustitutivos

La definición conjuntista de Kuratowski no es la única existente en la literatura matemática:

• (a,b)={ {a, 1}, {b, 2} } (Hausdorff, 1914).​
• (a,b)= { {{a}, ∅}, {{b}} } (Wiener, 1914).​

Véase también

• Par desordenado

Bibliografía

• Moschovakis, Yiannis N. (2006). Notes on set theory (en inglés). Birkhäuser. ISBN 9780387287225. 
• Wiener, Norbert (1967) [1914]. «A simplification of the logic of relations». En Jean van Heijenoort, ed. From Frege to Gödel (en inglés). Cambridge University Press. LCCN 67010905. 
• Enderton, Herbert (1977) [1977]. «3 Relations And Functions». En Elsevier Science, ed. Elements of ser theory (en inglés). Academic Press. 0122384407. 

Bibliografía

• Kuratowski, Kazimierz (1921). «Sur la notion de l'ordre dans la Théorie des Ensembles» (PDF). Fundamenta Mathematicae (en francés) 2 (1): 161-171. Archivado desde el original el 21 de octubre de 2013. Consultado el 23 de noviembre de 2014.  El artículo con la definición original del par de Kuratowski.

• Datos: Q191290