R4 exótico

En matemáticas, una estructura exótica de $\mathbb {R} ^{4}$ es una estructura de variedad diferenciable que es homeomorfa, pero no difeomorfa al espacio euclídeo $\mathbb {R} ^{4}.$ Los primeros ejemplos fueron encontrados en 1982 por Michael Freedman y otros, al utilizar el contraste entre los teoremas de Freedman sobre las 4-variedades topológicas, y los teoremas de Simon Donaldson sobre 4-variedades suaves.​​ Existe un continuo de estructuras diferencibles no difeomorfas a $\mathbb {R} ^{4},$ como demostró primero Clifford Taubes.​

Antes de esta construcción, ya se sabía que existían estructuras diferenciables no difeomorfas sobre n-esferas, esferas exóticas, aunque la cuestión de la existencia de tales estructuras para el caso particular de la 4-esfera seguía siendo un problema abierto (y sigue siendolo en la actualidad). Para cualquier número entero positivo n que no sea 4, no existen estructuras diferenciables exóticas en $\mathbb {R} ^{n};$ en otras palabras, si n ≠ 4, entonces cualquier variedad diferenciable homeomorfa a $\mathbb {R} ^{n}$ es difeomorfa a $\mathbb {R} ^{n}.$​

R⁴ exóticos pequeños

Un $\mathbb {R} ^{4}$ exótico se llama pequeño si se puede incrustar suavemente como un subconjunto abierto de la estructura ordinaria de $\mathbb {R} ^{4}$. Los $\mathbb {R} ^{4}$ exóticos pequeños pueden construirse partiendo de un h-cobordismo suave y no trivial de 5 dimensiones (que existe por la prueba de Donaldson de que el teorema de que el h-cobordismo falla en esta dimensión) y utilizando el teorema de Freedman de que el teorema del h-cobordismo topológico se cumple en esta dimensión.

R⁴ exóticos grandes

Un $R^{4}$ exótico se llama grande si no puede ser encajado de manera suave como un subconjunto abierto del $\mathbb {R} ^{4}$ estándar. Se pueden construir ejemplos de $\mathbb {R} ^{4}$ exóticos grandes utilizando el hecho de que los 4manifolds compactos a menudo pueden dividirse como una suma topológica (por el trabajo de Freedman), pero no pueden dividirse como una suma suave (por el trabajo de Donaldson).

Freedman, Michael Hartley; Taylor, Laurence R. (1986). jdg/1214440258 «Un alisamiento universal del espacio de cuatro». Journal of Differential Geometry 24 (1). pp. 69-78. ISSN 0022-040X. MR 857376.  demostró que existe un $\mathbb {R} ^{4},$ exótico máximo en el que todos los demás $\mathbb {R} ^{4}$ pueden ser embebidos suavemente como subconjuntos abiertos.

Estructuras exóticas relacionadas

Los asideros de Casson son homeomorfos a $\mathbb {D} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}$ por el teorema de Freedman (donde $\mathbb {D} ^{2}$ es el disco unitario cerrado) pero se deduce del teorema de Donaldson que no todos son difeomorfos a $\mathbb {D} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}$. En otras palabras, algunos asideros de Casson son exóticos $\mathbb {D} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}.$

No se sabe (a fecha de 2022) si existen o no 4 esferas exóticas; una 4 esfera exótica de este tipo sería un contraejemplo a la conjetura de Poincaré generalizada suave en dimensión 4. Algunos candidatos plausibles vienen dados por Gluck twists.

Véase también

• Corcho de Akbulut - herramienta utilizada para construir $\mathbb {R} ^{4}$ exóticos a partir de clases en $H^{3}(S^{3},\mathbb {R} )$​
• Atlas (matemáticas)

Bibliografía

• Freedman, Michael H.; Quinn, Frank (1990). Topology of 4-manifolds. Princeton Mathematical Series 39. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 0-691-08577-3. (requiere registro). 
• Freedman, Michael H.; Taylor, Laurence R. (1986). «A universal smoothing of four-space». Journal of Differential Geometry 24 (1): 69-78. ISSN 0022-040X. MR 857376. doi:10.4310/jdg/1214440258. 
• Kirby, Robion C. (1989). The topology of 4-manifolds. Lecture Notes in Mathematics 1374. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-51148-2. 
• Scorpan, Alexandru (2005). The wild world of 4-manifolds. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3749-8. 
• Stallings, John (1962). «The piecewise-linear structure of Euclidean space». Proc. Cambridge Philos. Soc. 58 (3): 481-488. Bibcode:1962PCPS...58..481S. doi:10.1017/s0305004100036756.  MR 0149457
• Gompf, Robert E.; Stipsicz, András I. (1999). 4-manifolds and Kirby calculus. Graduate Studies in Mathematics 20. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0994-6. 
• Taubes, Clifford Henry (1987). «Gauge theory on asymptotically periodic 4-manifolds». Journal of Differential Geometry 25 (3): 363-430. MR 882829. doi:10.4310/jdg/1214440981. Plantilla:Euclid. 

• Datos: Q2436606