Para cada rotación física R, se postula un operador de rotación (rotacional) mecánica cuántica D(R) que denota la rotación de los estados mecánicos cuánticos.
El operador movimiento de rotación , con el primer argumento que indica el eje de rotación y el segundo el ángulo de rotación, puede operar a través del operador traslación para rotaciones infinitesimales, como se explica a continuación. Por esta razón, primero se muestra cómo el operador de traslación está actuando sobre una partícula en la posición x (la partícula está entonces en el estado, de acuerdo con la mecánica cuántica).
Traslación de la partícula en la posición x a la posición x + a:
Debido a que una traslación de 0 no cambia la posición de la partícula, entonces (1 indica el operador identidad, que no introduce cambios):
Además, supóngase un hamiltoniano es independiente de la posición . Debido a que el operador de traslación se puede escribir en términos de y , se sabe que . Este resultado significa que se conserva la cantidad de movimiento lineal para el sistema.
En la mecánica clásica, se tiene que el momento angular. Esto es lo mismo en mecánica cuántica, considerando a y como operadores. Clásicamente, una rotación infinitesimal del vector r = (x, y, z) sobre el eje z a r'= (x', y', z) dejando z sin cambios, puede expresarse mediante las siguientes traslaciones infinitesimales (usando la aproximación de Taylor):
De lo que se sigue para los estados:
Y consecuentemente:
Usando desde arriba con y la expansión de Taylor, obtiene:
con lz = x py - y px siendo la componente z del momento angular de acuerdo con el producto vectorial clásico.
Para obtener una rotación para el ángulo , se construye la ecuación diferencial siguiente, utilizando la condición :
Similar al operador de traslación, si se dispone de un hamiltoniano que es rotacionalmente simétrico con respecto al eje z, implica . Este resultado significa que el momento angular se conserva.
Para el momento de giro angular sobre el eje y, simplemente se reemplaza por y se obtiene el operador de rotación espín.
Efecto sobre el operador de giro y estados cuánticoseditar
Los operadores pueden ser representados por matrices. A partir del álgebra lineal se sabe que una cierta matriz se puede representar en otra base a través de la transformación
donde es la matriz de transformación base. Los vectores y son los ejes z en una base y en otra respectivamente, y además son perpendiculares al eje y con un cierto ángulo entre ellos. El operador de giro en la primera base puede luego transformarse en el operador de giro de la otra base a través de la siguiente transformación:
De la mecánica cuántica estándar se tienen los resultados conocidos y , donde y son los giros superiores en sus bases correspondientes. Entonces, se tiene que:
La comparación con produce .
Esto significa que si el estado se gira alrededor del eje y con un ángulo , se convierte en el estado , un resultado que puede generalizarse a ejes arbitrarios. Este resultado es importante, por ejemplo, en la inecuación de Sakurai Bell.