Segundo axioma de numerabilidad

En topología, se dice que un espacio topológico $\left(X,{\mathcal {T}}\right)$ verifica el segundo axioma de numerabilidad (o que es segundo numerable, o segundo contable) si su topología tiene una base numerable. En forma abreviada, suele decirse también que el espacio es 2AN o ANII.

Propiedades editar

El ser ANII es una propiedad global que limita el número de abiertos de la topología. De hecho, se demuestra que si (X,T) es ANII, entonces el cardinal de T es menor o igual que el cardinal del continuo.
Ser ANII es una propiedad hereditaria: todo subespacio de un espacio ANII también lo es.^[1]
El producto numerable de espacios ANII es a su vez ANII.
Todo espacio ANII es un espacio ANI.^[2]
Todo espacio ANII es un espacio de Lindelöf.^[2]

Ejemplos editar

El espacio euclídeo $\mathbb {R} ^{n}$ con su topología usual es ANII. Aunque la base formada por las bolas abiertas no es numerable, podemos encontrar una base que sí lo es: la formada por las bolas de radio racional y cuyo centro tenga coordenadas racionales.
La táctica anterior puede repetirse en un espacio métrico separable ( i.e. que contenga un subconjunto denso numerable A). Como base basta escoger de nuevo las bolas de radio racional centradas en A.
El espacio topológico trivial es ANII puesto que la única base de abiertos contiene un único elemento.^[2]
El espacio topológico discreto, $(X,\mathrm {T} _{D})$ , es ANII si y sólo si $X$ es numerable.^[2]
El espacio de Sorgenfrey no es ANII, aunque sí es ANI.^[3]
La recta cofinita, $(\mathbb {R} ,\mathrm {T} _{cof})$ , no es ANII puesto que no es ANI.^[3]