Sucesión de Lucas

secuencia de números enteros

En matemáticas, especialmente en teoría de números, las sucesiones de Lucas Un(P,Q) y Vn(P,Q) son ciertas sucesiones de enteros que satisfacen la relación de recurrencia

xn = P xn−1 + Q xn−2

Donde P y Q son enteros fijos. Cualquier otra sucesión que satisfaga esta relación de recurrencia puede ser representada como combinación lineal de las sucesiones de Lucas Un(P,Q) y Vn(P,Q).

Entre ellas se encuentran las sucesiones de los números de Lucas, que se obtienen de igual manera que la sucesión de Fibonacci, y ambas están estrechamente relacionadas, con el cambio de que los primeros dos números no son 1, 1, sino 2, 1. La sucesión de Lucas toma el nombre del matemático francés Édouard Lucas.

Números de Lucas editar

Los números de Lucas están dados por:

  •  
  •  
  •   para  

Teniendo ciertas propiedades como: La sucesión de Lucas tiene una gran similitud con la sucesión de Fibonacci y comparte muchas de sus características. Algunas propiedades interesantes incluyen:

  • La proporción entre un número de Lucas y su sucesor inmediato se aproxima al número áureo. Es decir
 
  • La fórmula explícita para la sucesión de Lucas es
 
  • La suma de los primeros   números de Lucas es el número que se encuentra en la posición   menos uno. Es decir
 
  • Cualquier fórmula que contenga un número de Lucas puede expresarse en términos de números de Fibonacci mediante la igualdad
 
  • Cualquier fórmula que contenga un número de Fibonacci puede expresarse en términos de números de Lucas mediante la igualdad
 

Relaciones de Recurrencia editar

Teniendo en cuenta dos parámetros enteros P y Q, la sucesión de Lucas de la primera clase Un(P,Q) y de la segunda clase Vn(P,Q) Se definen por las relaciones de recurrencia:

 
 
 

y

 
 
 

No es difícil mostrar que para  ,

 
 

Ejemplos editar

Los términos iniciales de la sucesión Un(P,Q) y Vn(P,Q) se dan en esta tabla:

     
     
     
     
     
     
     
     

Relaciones Algebraicas editar

La ecuación característica de la relación de recurrencia para las sucesiones de Lucas   y   es:

 

Tiene la discriminante   y las raíces:

 

Por lo tanto:

 
 
 

Raíces Distintas editar

Cuando  , a y b son distintos y uno verifica rápidamente que

 
 .

De ello se desprende que los términos de secuencias de Lucas se pueden expresar en términos de a y b como

 
 

Raíces Repetidas editar

El caso en que   ocurre exactamente cuando   para algunos enteros S de manera que  . En este caso se puede encontrar fácilmente qu

 
 .

Sucesiones adicionales que tienen la misma discriminante editar

Si las sucesiones   y   tienen discriminante  , entonces la sucesión basada en   y   donde

 
 

tienen la misma discriminante:  .

Nombres específicos editar

Las secuencias de Lucas para algunos valores de P y Q tienen nombres específicos:

Un(1,−1): Números de Fibonacci
Vn(1,−1): Números de Lucas
Un(2,−1): Números de Pell
Vn(2,−1): Números de Pell-Lucas
Un(1,−2): Números de Jacobsthal
Vn(1,−2): Números de Jacobsthal-Lucas
Un(3, 2): Números de Mersenne 2n − 1
Vn(3, 2): Números de la forma 2n + 1, que incluye los números de Fermat(Yubuta, 2001).
Un(x,−1): Polinomios de Fibonacci
Vn(x,−1): Polinomios de Lucas
Un(x+1, x): Repitunos en base x
Vn(x+1, x): xn + 1

Referencias editar