Primera sustitución
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La primera sustitución de Euler se utiliza cuando
a
>
0
{\displaystyle a>0}
a
x
2
+
b
x
+
c
=
±
x
a
+
t
{\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=\pm x{\sqrt {a}}+t}
y se resuelve la expresión resultante para
x
{\displaystyle x}
x
=
c
−
t
2
±
2
t
a
−
b
{\displaystyle x={\frac {c-t^{2}}{\pm 2t{\sqrt {a}}-b}}}
y el término
d
x
{\displaystyle dx}
t
{\displaystyle t}
En esta sustitución, se puede elegir el signo positivo o el signo negativo.
Segunda sustitución
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Si
c
>
0
{\displaystyle c>0}
a
x
2
+
b
x
+
c
=
x
t
±
c
.
{\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=xt\pm {\sqrt {c}}.}
Se resuelve para
x
{\displaystyle x}
x
=
±
2
t
c
−
b
a
−
t
2
.
{\displaystyle x={\frac {\pm 2t{\sqrt {c}}-b}{a-t^{2}}}.}
Nuevamente, se puede elegir el signo positivo o negativo.
Tercera sustitución
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Primera sustitución de Euler
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En la integral
∫
d
x
x
2
+
c
{\displaystyle \int \!{\frac {\ dx}{\sqrt {x^{2}+c}}}}
se puede usar la primera sustitución y establecer
x
2
+
c
=
−
x
+
t
{\displaystyle {\sqrt {x^{2}+c}}=-x+t}
x
=
t
2
−
c
2
t
d
x
=
t
2
+
c
2
t
2
d
t
{\displaystyle x={\frac {t^{2}-c}{2t}}\quad \quad \ dx={\frac {t^{2}+c}{2t^{2}}}\,\ dt}
x
2
+
c
=
−
t
2
−
c
2
t
+
t
=
t
2
+
c
2
t
{\displaystyle {\sqrt {x^{2}+c}}=-{\frac {t^{2}-c}{2t}}+t={\frac {t^{2}+c}{2t}}}
En consecuencia, se obtiene:
∫
d
x
x
2
+
c
=
∫
t
2
+
c
2
t
2
t
2
+
c
2
t
d
t
=
∫
d
t
t
=
ln
|
t
|
+
C
=
ln
|
x
+
x
2
+
c
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {\ dx}{\sqrt {x^{2}+c}}}=\int {\frac {\frac {t^{2}+c}{2t^{2}}}{\frac {t^{2}+c}{2t}}}\,\ dt=\int \!{\frac {\ dt}{t}}=\ln |t|+C=\ln |x+{\sqrt {x^{2}+c}}|+C}
Con
c
=
±
1
{\displaystyle c=\pm 1}
∫
d
x
x
2
+
1
=
arsinh
(
x
)
+
C
∫
d
x
x
2
−
1
=
arcosh
(
x
)
+
C
(
x
>
1
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {\ dx}{\sqrt {x^{2}+1}}}&={\mbox{arsinh}}(x)+C\\[6pt]\int {\frac {\ dx}{\sqrt {x^{2}-1}}}&={\mbox{arcosh}}(x)+C\qquad (x>1)\end{aligned}}}
Para encontrar el valor de
∫
1
x
x
2
+
4
x
−
4
d
x
,
{\displaystyle \int {\frac {1}{x{\sqrt {x^{2}+4x-4}}}}dx,}
se determina
t
{\displaystyle t}
x
2
+
4
x
−
4
=
1
x
+
t
=
x
+
t
{\displaystyle {\sqrt {x^{2}+4x-4}}={\sqrt {1}}x+t=x+t}
x
2
+
4
x
−
4
=
x
2
+
2
x
t
+
t
2
{\displaystyle x^{2}+4x-4=x^{2}+2xt+t^{2}}
x
2
{\displaystyle x^{2}}
x
{\displaystyle x}
x
=
t
2
+
4
4
−
2
t
.
{\displaystyle x={\frac {t^{2}+4}{4-2t}}.}
A partir de ahí, resulta que los diferenciales
d
x
{\displaystyle dx}
d
t
{\displaystyle dt}
d
x
=
−
2
t
2
+
8
t
+
8
(
4
−
2
t
)
2
d
t
.
{\displaystyle dx={\frac {-2t^{2}+8t+8}{(4-2t)^{2}}}dt.}
Por lo tanto,
∫
d
x
x
x
2
+
4
x
−
4
=
∫
−
2
t
2
+
8
t
+
8
(
4
−
2
t
)
2
(
t
2
+
4
4
−
2
t
)
(
−
t
2
+
4
t
+
4
4
−
2
t
)
d
t
=
2
∫
d
t
t
2
+
4
=
tan
−
1
(
t
2
)
+
C
t
=
x
2
+
4
x
−
4
−
x
=
tan
−
1
(
x
2
+
4
x
−
4
−
x
2
)
+
C
{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {dx}{x{\sqrt {x^{2}+4x-4}}}}&=\int {\frac {\frac {-2t^{2}+8t+8}{(4-2t)^{2}}}{({\frac {t^{2}+4}{4-2t}})({\frac {-t^{2}+4t+4}{4-2t}})}}dt\\[6pt]&=2\int {\frac {dt}{t^{2}+4}}=\tan ^{-1}\left({\frac {t}{2}}\right)+C&&t={\sqrt {x^{2}+4x-4}}-x\\[6pt]&=\tan ^{-1}\left({\frac {{\sqrt {x^{2}+4x-4}}-x}{2}}\right)+C\end{aligned}}}
Segunda sustitución de Euler
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En la integral
∫
d
x
x
−
x
2
+
x
+
2
,
{\displaystyle \int \!{\frac {dx}{x{\sqrt {-x^{2}+x+2}}}},}
se puede usar la segunda sustitución y configurar
−
x
2
+
x
+
2
=
x
t
+
2
{\displaystyle {\sqrt {-x^{2}+x+2}}=xt+{\sqrt {2}}}
x
=
1
−
2
2
t
t
2
+
1
d
x
=
2
2
t
2
−
2
t
−
2
2
(
t
2
+
1
)
2
d
t
,
{\displaystyle x={\frac {1-2{\sqrt {2}}t}{t^{2}+1}}\qquad dx={\frac {2{\sqrt {2}}t^{2}-2t-2{\sqrt {2}}}{(t^{2}+1)^{2}}}dt,}
y
−
x
2
+
x
+
2
=
1
−
2
2
t
t
2
+
1
t
+
2
=
−
2
t
2
+
t
+
2
t
2
+
1
{\displaystyle {\sqrt {-x^{2}+x+2}}={\frac {1-2{\sqrt {2t}}}{t^{2}+1}}t+{\sqrt {2}}={\frac {-{\sqrt {2}}t^{2}+t+{\sqrt {2}}}{t^{2}+1}}}
En consecuencia, se obtiene:
∫
d
x
x
−
x
2
+
x
+
2
=
∫
2
2
t
2
−
2
t
−
2
2
(
t
2
+
1
)
2
1
−
2
2
t
t
2
+
1
−
2
t
2
+
t
+
2
t
2
+
1
d
t
=
∫
−
2
−
2
2
t
+
1
d
t
=
1
2
∫
−
2
2
−
2
2
t
+
1
d
t
=
1
2
ln
|
2
2
t
−
1
|
+
C
=
2
2
ln
|
2
2
−
x
2
+
x
+
2
−
2
x
−
1
|
+
C
{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {dx}{x{\sqrt {-x^{2}+x+2}}}}&=\int {\frac {\frac {2{\sqrt {2}}t^{2}-2t-2{\sqrt {2}}}{(t^{2}+1)^{2}}}{{\frac {1-2{\sqrt {2}}t}{t^{2}+1}}{\frac {-{\sqrt {2}}t^{2}+t+{\sqrt {2}}}{t^{2}+1}}}}\;dt\\&=\int \!{\frac {-2}{-2{\sqrt {2}}t+1}}dt\\&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\int {\frac {-2{\sqrt {2}}}{-2{\sqrt {2}}t+1}}dt\\&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\ln {\Biggl |}2{\sqrt {2}}t-1{\Biggl |}+C\\&={\frac {\sqrt {2}}{2}}\ln {\Biggl |}2{\sqrt {2}}{\frac {{\sqrt {-x^{2}+x+2}}-{\sqrt {2}}}{x}}-1{\Biggl |}+C\end{aligned}}}
Tercera sustitución de Euler
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Para evaluar
∫
x
2
−
x
2
+
3
x
−
2
d
x
,
{\displaystyle \int \!{\frac {x^{2}}{\sqrt {-x^{2}+3x-2}}}\ dx,}
se puede usar la tercera sustitución y configurar
−
(
x
−
2
)
(
x
−
1
)
=
(
x
−
2
)
t
{\displaystyle {\sqrt {-(x-2)(x-1)}}=(x-2)t}
x
=
−
2
t
2
−
1
−
t
2
−
1
d
x
=
2
t
(
−
t
2
−
1
)
2
d
t
,
{\displaystyle x={\frac {-2t^{2}-1}{-t^{2}-1}}\qquad \ dx={\frac {2t}{(-t^{2}-1)^{2}}}\,\ dt,}
y
−
x
2
+
3
x
−
2
=
(
x
−
2
)
t
=
t
−
t
2
−
1.
{\displaystyle {\sqrt {-x^{2}+3x-2}}=(x-2)t={\frac {t}{-t^{2}-1.}}}
A continuación,
∫
x
2
−
x
2
+
3
x
−
2
d
x
=
∫
(
−
2
t
2
−
1
−
t
2
−
1
)
2
2
t
(
−
t
2
−
1
)
2
t
−
t
2
−
1
d
t
=
∫
2
(
−
2
t
2
−
1
)
2
(
−
t
2
−
1
)
3
d
t
.
{\displaystyle \int {\frac {x^{2}}{\sqrt {-x^{2}+3x-2}}}\ dx=\int {\frac {({\frac {-2t^{2}-1}{-t^{2}-1}})^{2}{\frac {2t}{(-t^{2}-1)^{2}}}}{\frac {t}{-t^{2}-1}}}\ dt=\int {\frac {2(-2t^{2}-1)^{2}}{(-t^{2}-1)^{3}}}\ dt.}
Como se puede ver, esta es una función racional que se puede resolver usando fracciones parciales.
Generalizaciones
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Las sustituciones de Euler se pueden generalizar permitiendo el uso de números imaginarios. Por ejemplo, en la integral
∫
d
x
−
x
2
+
c
{\displaystyle \textstyle \int {\frac {dx}{\sqrt {-x^{2}+c}}}}
−
x
2
+
c
=
±
i
x
+
t
{\displaystyle {\sqrt {-x^{2}+c}}=\pm ix+t}
Las sustituciones de Euler se pueden generalizar a una clase más amplia de funciones. Considérense las integrales de la forma
∫
R
1
(
x
,
a
x
2
+
b
x
+
c
)
log
(
R
2
(
x
,
a
x
2
+
b
x
+
c
)
)
d
x
,
{\displaystyle \int R_{1}{\Big (}x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}{\Big )}\,\log {\Big (}R_{2}{\Big (}x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}{\Big )}{\Big )}\,dx,}
donde
R
1
{\displaystyle R_{1}}
R
2
{\displaystyle R_{2}}
x
{\displaystyle x}
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}
a
x
2
+
b
x
+
c
=
a
+
x
t
{\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\sqrt {a}}+xt}
∫
R
~
1
(
t
)
log
(
R
~
2
(
t
)
)
d
t
,
{\displaystyle \int {\tilde {R}}_{1}(t)\log {\big (}{\tilde {R}}_{2}(t){\big )}\,dt,}
donde
R
~
1
(
t
)
{\displaystyle {\tilde {R}}_{1}(t)}
R
~
2
(
t
)
{\displaystyle {\tilde {R}}_{2}(t)}
t
{\displaystyle t}
factorización y la descomposición en fracciones simples se puede dividir la integral en términos simples, que se pueden integrar analíticamente mediante el uso de la función dilogaritmo .[ 2]
Véase también
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↑ N. Piskunov, Diferentsiaal- ja integraalarvutus körgematele tehnilistele öppeasutustele. Viies, taiendatud trukk. Kirjastus Valgus , Tallinn (1965). Note: Euler substitutions can be found in most Russian calculus textbooks.
↑ Zwillinger, Daniel. The Handbook of Integration . 1992: Jones and Bartlett. pp. 145-146. ISBN 978-0867202939 Enlaces externos
editar
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {\ dx}{\sqrt {x^{2}+1}}}&={\mbox{arsinh}}(x)+C\\[6pt]\int {\frac {\ dx}{\sqrt {x^{2}-1}}}&={\mbox{arcosh}}(x)+C\qquad (x>1)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dba7bf29d04c278d8e2783f7a6e67c3b8a143776)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {dx}{x{\sqrt {x^{2}+4x-4}}}}&=\int {\frac {\frac {-2t^{2}+8t+8}{(4-2t)^{2}}}{({\frac {t^{2}+4}{4-2t}})({\frac {-t^{2}+4t+4}{4-2t}})}}dt\\[6pt]&=2\int {\frac {dt}{t^{2}+4}}=\tan ^{-1}\left({\frac {t}{2}}\right)+C&&t={\sqrt {x^{2}+4x-4}}-x\\[6pt]&=\tan ^{-1}\left({\frac {{\sqrt {x^{2}+4x-4}}-x}{2}}\right)+C\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/416135ec0f98e3c50b1a8c6dc10d4073211c791b)
Portal:Matemáticas. Contenido relacionado con Matemáticas.
Datos: Q4368359