Tensor de no metricidad

En matemáticas, el tensor de no-metricidad en geometría diferencial es la derivada covariante del tensor métrico.​ Es, por tanto, un campo tensorial de orden 3. Se hace cero para la geometría Riemanniana.

Por componentes, se puede definir fácilmente como sigue.

$Q_{\mu \alpha \beta }=\nabla _{\mu }g_{\alpha \beta }$

Este tensor mide la tasa de cambio de las componentes de un tensor métrico a lo largo de un flujo de un cierto campo vectorial, puesto que

$\nabla _{\mu }\equiv \nabla _{\partial _{\mu }}$

donde $\{\partial _{\mu }\}_{\mu =0,1,2,3}$ es la base coordenada de campos vectoriales de la variedad, en el caso de que sea 4-dimensioal. Decimos que una conexión $\Gamma$ es compatible con la métrica cuando la derivada covariante que tiene asociada, actuando sobre el tensor métrico, (llamémoslo $\nabla ^{\Gamma }$, por ejemplo) se anula, i.e.

$\nabla _{\mu }^{\Gamma }g_{\alpha \beta }=0$

Si la conexión es también libre de torsión (i.e. totalmente simétrica) se conoce como la conexión de Levi-Civita, la cual es la única conexión sin torsión que además es compatible con la métrica. Desde un punto de vista geométrico, el hecho de que el tensor de no-metricidad no se anule para una cierta métrica $g$ implica que el módulo de un cierto vector definido sobre el espacio tangente a la variedad en un punto $p$, cambia cuando este es valuado a lo largo de la dirección (flujo) de otro vector arbitrario.

Referencias

• Datos: Q7049491