Teorema de Slutsky

teoría de la probabilidad

En teoría de la probabilidad, el teorema de Slutsky[1][2]​ extiende algunas propiedades de operaciones algebraicas sobre sucesiones convergentes de números reales a sucesiones de variables aleatorias.

El teorema lleva el nombre de Yevgueni Slutski[3]​ aunque es también atribuido a Harald Cramér.[4]

Enunciado

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Sean {Xn}, {Yn} sucesiones de variables aleatorias.

Si Xn converge en distribución a una variable aleatoria X; e Yn converge en probabilidad a una constante c, entonces

  •  
  •  
  •     siempre que c ≠ 0,

donde   denota convergencia en distribución.

Observaciones:

  1. En el enunciado del teorema, la condición “Yn converge en probabilidad a una constante c” puede ser reemplazada con “Yn converge en distribución a una constante c” — estas dos condiciones son equivalentes debido a propiedades de la convergencia de variables aleatorias.
  2. La condición Yn converge a una constante es importante — si convergiera a una variable aleatoria no degenerada, el teorema podría no ser válido.
  3. El teorema sigue siendo válido si se reemplaza, en todos los casos, convergencia en distribución por convergencia en probabilidad debido a propiedades de la convergencia de variables aleatorias.

Demostración

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Este teorema se deduce del hecho de que si Xn converge en distribución a X e Yn converge en probabilidad a una constante c, entonces el vector (Xn, Yn) converge en distribución a (X, c). Luego, se aplica el teorema de la aplicación continua, considerando las funciones g(x,y)=x+y, g(x,y)=xy, y g(x,y)=x−1y como continuas (para que la última función sea continua, x debe ser invertible).[5]

Véase también

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Referencias

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  1. Grimmett, G.; Stirzaker, D. (2001). Oxford University Press, ed. Probability and Random Processes (en inglés) (3rd edición). ISBN 978-0198572220. 
  2. Serfling, R. (2002). Approximation Theorems of Mathematical Statistics (en inglés). Wiley-Interscience. p. 18. ISBN 978-0471219279. 
  3. Slutsky, E. (1925). «Über stochastische Asymptoten und Grenzwerte». Metron 5 (3): 3-89. 
  4. Gut, Allan (2005). Probability: a graduate course (en inglés). Springer-Verlag. p. 249. ISBN 0-387-22833-0. 
  5. Bickel, P.; Doksum, K. (1977). Mathematical statistics: Basic ideas and selected topics (en inglés). Holden-Day. p. 461. ISBN 0816207844.