Teorema del collage

En matemáticas, el teorema del collage​ caracteriza a un sistema iterativo de funciones cuyo atractor es cercano, según la distancia de Hausdorff, a un conjunto dado. El sistema iterativo de funciones descrito está compuesto por contracciones cuyas imágenes, como un collage o una unión al representar el conjunto dado, están arbitrariamente cerca del conjunto dado. Normalmente se utiliza en compresión fractal.

Imagen hecha con un atractor a partir de la de una hoja de árbol.

Definición

Sea $\mathbb {X}$ un espacio métrico completo. Supóngase que $L$ es un subconjunto compacto y no vacío de $\mathbb {X}$ y sea $\epsilon >0$ un valor dado. Elíjase un sistema iterativo de funciones (SIF) $\{\mathbb {X} ;w_{1},w_{2},\dots ,w_{N}\}$ con factor de contractividad $0\leq s<1$. El factor de contractividad del SIF es el máximo de los factores de contractividad de las aplicaciones $w_{i}$. Supóngase ahora que

$h\left(L,\bigcup _{n=1}^{N}w_{n}(L)\right)\leq \varepsilon ,$

donde $h(\cdot ,\cdot )$ es la métrica de Hausdorff. Entonces

$h(L,A)\leq {\frac {\varepsilon }{1-s}}$

donde A es el atractor del SIF. Equivalentemente,

$h(L,A)\leq (1-s)^{-1}h\left(L,\cup _{n=1}^{N}w_{n}(L)\right)\quad$, para todos los subconjuntos compactos L no vacíos de $\mathbb {X}$.

De manera informal, si $L$ está cerca de ser estabilizado por el SIF, entonces $L$ también está cerca de ser el atractor del SIF.​

Véase también

• Michael Barnsley
• Helecho de Barnsley

Bibliografía

• Barnsley, Michael. (1988). Fractals Everywhere. Academic Press, Inc. ISBN 0-12-079062-9. (requiere registro). 

Enlaces externos

• Una descripción del teorema del collage y el subprograma interactivo de Java en Alexander Bogomolny.
• Notas sobre el diseño de SIF para aproximar imágenes reales.
• Documento expositivo sobre fractales y teorema del collage

• Datos: Q3527255