Triángulo extratangente

En geometría, el triángulo extratangente de un triángulo se forma al unir los puntos en los que las tres circunferencias exinscritas son tangentes al triángulo.

El triángulo extratangente (△T_A T_B T_C, en color rojo) y el punto de Nagel (N, en azul) de un triángulo (△ABC, en color negro). Los círculos anaranjados son las circunferencias exinscritas del triángulo.

Coordenadas

Los vértices del triángulo extratangentes se dan en coordenadas trilineales por:

$T_{A}=0:\csc ^{2}{\left(B/2\right)}:\csc ^{2}{\left(C/2\right)}$

$T_{B}=\csc ^{2}{\left(A/2\right)}:0:\csc ^{2}{\left(C/2\right)}$

$T_{C}=\csc ^{2}{\left(A/2\right)}:\csc ^{2}{\left(B/2\right)}:0$

o equivalentemente, siendo a, b, c las longitudes de los lados opuestos a los ángulos A, B, C respectivamente,

$T_{A}=0:{\frac {a-b+c}{b}}:{\frac {a+b-c}{c}}$

$T_{B}={\frac {-a+b+c}{a}}:0:{\frac {a+b-c}{c}}$

$T_{C}={\frac {-a+b+c}{a}}:{\frac {a-b+c}{b}}:0.$

Figuras relacionadas

Las divisorias del triángulo son rectas que conectan los vértices del triángulo original con los vértices correspondientes del triángulo extratangente; que bisecan el perímetro del triángulo y se encuentran en el punto de Nagel. Este punto figura en color azul y está marcado como "N" en el diagrama.

La inelipse de Mandart es tangente a los lados del triángulo de referencia en los tres vértices del triángulo extratangente.​

Área

El área del triángulo extratangente,$K_{T}$, viene dada por:

$K_{T}=K{\frac {2r^{2}s}{abc}}$

donde $K$, $r$ y $s$ son el área, el radio de la circunferencia exinscrita y el semiperímetro del triángulo original, y $a$, $b$, y $c$ son las longitudes de los lados del triángulo original.

Es la misma área que la del triángulo de las tangentes del incentro.​

Referencias

• Datos: Q5422106