Continuidad uniforme

En análisis matemático una función $f$ se dice que es uniformemente continua si pequeños cambios en el valor de $x$ producen pequeños cambios en el valor de la función (continuidad) y el tamaño de los cambios de $f(x)$ depende solo del tamaño de los cambios en x pero no del valor de x (uniforme).

Gráfica de una función continua uniforme

Definición

Dados dos espacios métricos $(X,d_{X})$ y $(Y,d_{Y})$, y $M\subseteq X$ entonces una función $f:M\to Y$ se llama uniformemente continua en M si para cualquier número real $\epsilon >0$ existe $\delta >0$ tal que $d_{X}(x_{1},x_{2})<\delta$, implica que $d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))<\epsilon$ para todo $x_{1},x_{2}\in M$.

Una función $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ es uniformemente continua en un intervalo $\ A$ si para todo $\epsilon >0$ existe algún $\delta >0$ tal que para todo $x,y\in A$ se cumple que si $|x-y|<\delta$, entonces $|f(x)-f(y)|<\epsilon$.​

A diferencia de la continuidad, donde el valor de $\delta$ depende del punto x, en las funciones uniformemente continuas no depende de dicho valor.

Ejemplos

• La función 1/x con x>0 es continua pero no uniformemente continua
• La función x es uniformemente continua en el intervalo [0,1].
• Todo polinomio $p:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {R}$ cuyo grado sea mayor o igual que uno es uniformemente continuo en un intervalo cerrado.

Resultados

• De la definición se deduce que toda función uniformemente continua es continua. Lo contrario (toda función continua es uniformemente continua) no siempre es cierto. Ejemplo: Si $x\in \mathbb {R} ^{+}$ y $f(x)={\frac {1}{x}}$. $f(x)$ es continua y no es uniformemente continua. Sin embargo, se verifica que:

Si M es un espacio métrico compacto e Y un espacio métrico, entonces toda función continua f : M → Y es uniformemente continua. En particular, toda función continua sobre un intervalo cerrado y acotado es uniformemente continua en dicho intervalo (Teorema de Heine-Cantor).

• Si (x_n) es una sucesión de Cauchy contenida en el dominio de f (no necesariamente convergente) y f es una función uniformemente continua, entonces (f(x_n)) también es una sucesión de Cauchy.
• Toda función Lipschitz continua es uniformemente continua.

Notas y referencias

• Datos: Q741865
• Multimedia: Uniform continuity / Q741865