Vórtice de Taylor-Green

En dinámica de fluidos, el vórtice de Taylor-Green es un flujo inestable de un vórtice en descomposición, que tiene una solución de forma cerrada exacta de las ecuaciones de Navier-Stokes para flujos incompresibles en coordenadas cartesianas. Lleva el nombre del físico y matemático británico Geoffrey Ingram Taylor y su colaborador A. E. Green.^[1]

Trabajo original

En el trabajo original de Taylor y Green,^[1] se analiza un flujo particular en tres dimensiones espaciales, con los tres componentes de velocidad $\mathbf {v} =(u,v,w)$ en el momento $t=0$ especificado por

u=A\cos ax\sin by\sin cz,

v=B\sin ax\cos by\sin cz,

w=C\sin ax\sin by\cos cz.

La ecuación de continuidad $\nabla \cdot \mathbf {v} =0$ determina que $Aa+Bb+Cc=0$ . El pequeño comportamiento en el tiempo del flujo se encuentra a través de la simplificación de las ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes utilizando el flujo inicial para dar una solución paso a paso a medida que avanza el tiempo.

Más adelantese se muestra una solución exacta en dos dimensiones.

Ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes

Las ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes en ausencia de fuerzas de cuerpo, y en dos dimensiones espaciales, están dadas por

{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}=0,

{\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x}}+\nu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\right),

{\frac {\partial v}{\partial t}}+u{\frac {\partial v}{\partial x}}+v{\frac {\partial v}{\partial y}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial y}}+\nu \left({\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}\right).

La primera de la ecuaciones anteriores representa la ecuación de continuidad y las otras dos representan las ecuaciones de momento.

Solución del vórtice de Taylor–Green

En el dominio $0\leq x,y\leq 2\pi$ , la solución está dada por

u=\cos x\sin y\,F(t),\qquad \qquad v=-\sin x\cos y\,F(t),

donde $F(t)=e^{-2\nu t}$ , $\nu$ es la viscosidad cinemática del fluido. Siguiendo el análisis de Taylor y Green^[1] para la situación bidimensional, y para $A=a=b=1$ , concuerda con la solución exacta, si el exponencial se expande como una serie de Taylor, es decir, $F(t)=1-2\nu t+O(t^{2})$ .

El campo de presión $p$ se puede obtener sustituyendo la solución de la velocidad en las ecuaciones de momento y viene dado por

p=-{\frac {\rho }{4}}\left(\cos 2x+\cos 2y\right)F^{2}(t).

La función de corriente de la solución del vórtice de Taylor-Green, es decir, que satisface $\mathbf {v} =\nabla \times {\boldsymbol {\psi }}$ para la velocidad de flujo $\mathbf {v}$ , es

{\boldsymbol {\psi }}=-\cos x\cos yF(t)\,{\hat {\mathbf {z} }}.

Del mismo modo, la vorticidad, que satisface ${\boldsymbol {\mathbf {\omega } }}=\nabla \times \mathbf {v}$ , está dado por

{\boldsymbol {\mathbf {\omega } }}=-2\cos x\cos y\,F(t){\hat {\mathbf {z} }}.

La solución vortex Taylor-Green se puede usar para probar y validar la precisión temporal de los algoritmos de Navier-Stokes.^[2]^[3]

Referencias

↑ ^a ^b ^c Taylor, G. I. y Green, A. E., Mechanism of the Production of Small Eddies from Large Ones, Proc. R. Soc. Lond. A, 158, 499–521 (1937).
↑ Chorin, A. J., Numerical solution of the Navier–Stokes equations, Math. Comp., 22, 745–762 (1968).
↑ Kim, J. and Moin, P., Application of a fractional-step method to incompressible Navier–Stokes equations, J. Comput. Phys., 59, 308–323 (1985).

Datos: Q7690283

[TaGr-1] Taylor, G. I. y Green, A. E., Mechanism of the Production of Small Eddies from Large Ones, Proc. R. Soc. Lond. A, 158, 499–521 (1937).

[2] Chorin, A. J., Numerical solution of the Navier–Stokes equations, Math. Comp., 22, 745–762 (1968).

[3] Kim, J. and Moin, P., Application of a fractional-step method to incompressible Navier–Stokes equations, J. Comput. Phys., 59, 308–323 (1985).

[1]

[2]

[3]