Teselado cuadrado

teselado del plano formado por cuadrados

En geometría, un teselado cuadrado, mosaico cuadrado o cuadrícula cuadrada es un teselado regular bidimensional. Tiene símbolo de Schläfli {4,4}, lo que significa que tiene 4 cuadrados alrededor de cada vértice.

Teselado cuadrado
Familia: teselado regular del plano

Teselado cuadrado regular.
Polígonos que forman las caras Cuadrado
Configuración de vértices 4.4.4.4 (o 44)
Grupo de simetría p4m, [4,4], (*442)
Grupo de rotación p4, [4,4]+, (442)
Poliedro dual Autodual
Símbolo de Schläfli {4,4}
{∞}x{∞}
Símbolo de Wythoff 4 | 2 4
Símbolo de Coxeter-Dynkin




Propiedades
Figura isogonal
Poliedro de aristas uniformes
Poliedro de caras uniformes
Simetría axial

Conway lo llamó cuadrilla.

El ángulo interior del cuadrado es de 90 grados, por lo que cuatro cuadrados en un punto hacen 360 grados completos. Es uno de tres mosaicos regulares del plano. Los otros dos son el teselado triangular y el teselado hexagonal.

Coloraciones uniformes

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Hay 9 coloreados uniformes distintos de un teselado cuadrado. Nombrando los colores por índices en los 4 cuadrados alrededor de un vértice, se obtienen las combinaciones siguientes: 1111, 1112(i), 1112(ii), 1122, 1123(i), 1123(ii), 1212, 1213, 1234. Los casos marcados con (i) tienen simetría de reflexión simple, y los marcados con (ii) poseen simetría de reflexión deslizada. Se pueden ver tres en el mismo dominio de simetría como colores reducidos: 1112i de 1213, 1123i de 1234 y 1112ii reducido de 1123ii.

Poliedros y mosaicos relacionados

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Este mosaico está relacionado topológicamente como parte de una secuencia de poliedros y mosaicos regulares, que se extiende hasta plano hiperbólico: {4,p}, p=3,4,5...

*n42 mutación de simetría de teselados regulares: {4,n}
Esférico Euclídeo Hiperbólico compacto Paracompacto
 
{4,3}
     
 
{4,4}
     
 
{4,5}
     
 
{4,6}
     
 
{4,7}
     
 
{4,8}...
     
 
{4,∞}
     

Este mosaico también está relacionado topológicamente como parte de la secuencia de poliedros regulares y mosaicos con cuatro caras por vértice, comenzando con octaedro, con Símbolo de Schläfli {n,4} y el diagrama de Coxeter      , con n progresando hasta el infinito.

*n42 mutación de simetría de teselados regulares: {n,4}
Esférico Euclídeo Teselados hiperbólicos
               
24 34 44 54 64 74 84 ...4
*n42 mutaciones de simetría de teselados duales cuasiregulares: V(4.n)2
Simetría
*4n2
[n,4]
Esférico Euclídeo Hiperbólico compacto Paracompacto No compacto
*342
[3,4]
*442
[4,4]
*542
[5,4]
*642
[6,4]
*742
[7,4]
*842
[8,4]...
*∞42
[∞,4]
 
[iπ/λ,4]
Tiling
 
Conf.
 
V4.3.4.3
 
V4.4.4.4
 
V4.5.4.5
 
V4.6.4.6
 
V4.7.4.7
 
V4.8.4.8
 
V4.∞.4.∞
V4.∞.4.∞
*n42 mutación de simetría de teselados expandidos: n.4.4.4
Simetría
[n,4], (*n42)
Esférico Euclídeo Hiperbólico compacto Paracompacto
*342
[3,4]
*442
[4,4]
*542
[5,4]
*642
[6,4]
*742
[7,4]
*842
[8,4]
*∞42
[∞,4]
Figuras
expandidas
             
Configuración 3.4.4.4 4.4.4.4 5.4.4.4 6.4.4.4 7.4.4.4 8.4.4.4 ∞.4.4.4
Configuración
de figuras
rómbica
 
V3.4.4.4
 
V4.4.4.4
 
V5.4.4.4
 
V6.4.4.4
 
V7.4.4.4
 
V8.4.4.4
 
V∞.4.4.4

Construcciones de Wythoff a partir de teselados cuadrados

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Al igual que los poliedros uniformes, hay ocho teselados uniformes que se pueden basar en el teselado cuadrado regular.

Dibujando los teselados coloreados como rojo en las caras originales, amarillo en los vértices originales y azul en los bordes originales, las 8 formas son distintas. Sin embargo, al tratar las caras de manera idéntica, solo hay tres formas topológicamente distintas: el teselado cuadrado, el teselado cuadrado truncado y el teselado cuadrado achatado.

Teselados uniformes basados en la simetría de teselados cuadrados
Simetría: [4,4], (*442) [4,4]+, (442) [4,4+], (4*2)
                                                     
                 
{4,4} t{4,4} r{4,4} t{4,4} {4,4} rr{4,4} tr{4,4} sr{4,4} s{4,4}
Duales uniformes
                                                     
               
V4.4.4.4 V4.8.8 V4.4.4.4 V4.8.8 V4.4.4.4 V4.4.4.4 V4.8.8 V3.3.4.3.4

Teselaciones topológicamente equivalentes

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Una variación isogonal con dos tipos de caras, visto como un teselado cuadrado achatado con pares de triángulos combinados en rombos
 
Los teselados topológicamente cuadrados se pueden hacer con formas cóncavas y más de una arista compartida entre dos caras. Esta variación tiene 3 bordes compartidos

Se pueden hacer otros teselados con cuadriláteros que son topológicamente equivalentes al mosaico cuadrado (con 4 cuadrángulos alrededor de cada vértice).

 
Una variación de 2 isoedros con caras rómbicas

Los mosaicos isoédricos tienen caras idénticas (face-transitivity) y vertex-transitivity, hay 18 variaciones, con 6 identificadas como triángulos que no se conectan de borde a borde, o como cuadrilátero con dos bordes colineales. La simetría dada asume que todas las caras son del mismo color.[1]

Teselaciones de cuadriláteros isoédricos
             
Cuadrado
p4m, (*442)
Cuadrilátero
p4g, (4*2)
Rectángulo
pmm, (*2222)
Paralelogramo
p2, (2222)
Paralelogramo
pmg, (22*)
Rombo
cmm, (2*22)
Rombo
pmg, (22*)
           
Trapecio
cmm, (2*22)
Cuadrilátero
pgg, (22×)
Cometa
pmg, (22*)
Cuadrilátero
pgg, (22×)
Cuadrilátero
p2, (2222)
Cuadriláteros degenerados o triángulos sin borde a borde
           
Isósceles
pmg, (22*)
Isósceles
pgg, (22×)
Escaleno
pgg, (22×)
Escaleno
p2, (2222)

Empaquetamiento de círculos

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El teselado cuadrado se puede usar como un empaquetamiento de círculos, colocando círculos de igual diámetro en el centro de cada cuadrado. De esta forma, cada círculo está en contacto con otros 4 círculos en el empaquetamiento (número de osculación).[2]​ La densidad de empaquetamiento tiene una cobertura de π/4=78,54%. Hay 4 colores uniformes de los empaquetamientos circulares.

 

Apeirógonos complejos regulares relacionados

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Hay 3 apeirógonos complejos regulares que comparten los vértices del teselado cuadrado. Los apeirogonos complejos regulares tienen vértices y aristas, donde las aristas pueden contener 2 o más vértices. Los apeirógonos regulares p{q}r están restringidos por: 1/p + 2/q + 1/r = 1. Las aristas tienen p vértices, y las figuras de vértice son r-gonales.[3]

Autodual Duales
     
4{4}4 o     2{8}4 o     4{8}2 o    

Véase también

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Referencias

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  1. Tilings and Patterns, from list of 107 isohedral tilings, p.473-481
  2. Order in Space: A design source book, Keith Critchlow, p.74-75, circle pattern 3
  3. Coxeter, Regular Complex Polytopes, pp. 111-112, p. 136.

Bibliografía

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Enlaces externos

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