Poliedro uniforme (enes · ites · eoes)

Tabla editar

Poliedros uniformes
n Símbolo de literal de Johnson Símbolo de Wythoff Nombre
Poliedro dual
Familia Grupo uniforme
33   small dodecicosidodecahedron small dodecacronic hexecontahedron
34   small stellated dodecahedron great dodecahedron
35   great dodecahedron small stellated dodecahedron
36   dodecadodecahedron medial rhombic triacontahedron
37   truncated great dodecahedron small stellapentakis dodecahedron
38   rhombidodecadodecahedron medial deltoidal hexecontahedron
39   small rhombidodecahedron small rhombidodecacron
40   snub dodecadodecahedron medial pentagonal hexecontahedron
41   ditrigonal dodecadodecahedron medial triambic icosahedron
42   Gran dodecicosidodecaedro ditrigonal Gran hexacontaedro dodecacrónico ditrigonal
43   small ditrigonal dodecicosidodecahedron small ditrigonal dodecacronic hexecontahedron
44   icosidodecadodecahedron medial icosacronic hexecontahedron
45   icositruncated dodecadodecahedron tridyakis icosahedron
46   snub icosidodecadodecahedron medial hexagonal hexecontahedron
47   great ditrigonal icosidodecahedron great triambic icosahedron
48   great icosicosidodecahedron great icosacronic hexecontahedron
49   small icosihemidodecahedron small icosihemidodecacron
50   small dodecicosahedron small dodecicosacron
51   small dodecahemidodecahedron small dodecahemidodecacron
52   great stellated dodecahedron great icosahedron
53   great icosahedron great stellated dodecahedron
54   great icosidodecahedron great rhombic triacontahedron
55   great truncated icosahedron great stellapentakis dodecahedron
56   rhombicosahedron rhombicosacron
57   great snub icosidodecahedron great pentagonal hexecontahedron
58   small stellated truncated dodecahedron great pentakis dodecahedron
59   truncated dodecadodecahedron medial disdyakis triacontahedron
60   inverted snub dodecadodecahedron medial inverted pentagonal hexecontahedron
61   great dodecicosidodecahedron great dodecacronic hexecontahedron
62   small dodecahemicosahedron small dodecahemicosacron
63   great dodecicosahedron great dodecicosacron
64   great snub dodecicosidodecahedron great hexagonal hexecontahedron
65   great dodecahemicosahedron great dodecahemicosacron
66   great stellated truncated dodecahedron great triakis icosahedron
67   uniform great rhombicosidodecahedron great deltoidal hexecontahedron
68   great truncated icosidodecahedron great disdyakis triacontahedron
69   great inverted snub icosidodecahedron great inverted pentagonal hexecontahedron
70   great dodecahemidodecahedron great dodecahemidodecacron
71   great icosihemidodecahedron great icosihemidodecacron
72   small retrosnub icosicosidodecahedron small hexagrammic hexecontahedron
73   great rhombidodecahedron great rhombidodecacron
74   great retrosnub icosidodecahedron great pentagrammic hexecontahedron
75   great dirhombicosidodecahedron great dirhombicosidodecacron
76   pentagonal prism pentagonal dipyramid
77   pentagonal antiprism pentagonal trapezohedron
78   pentagrammic prism pentagrammic dipyramid
79   Antiprisma pentagonal Deltaedro pentagonal
80   pentagrammic crossed antiprism pentagrammic concave deltohedron

Un poliedro uniforme es un poliedro que tiene vértices idénticos, como los sólidos platónicos y los sólidos de Kepler-Poinsot.[1]​ El las últimas décadas del siglo 19, Albert Badoureau descubrió 37 de ellos no convexos.

En 1973, Harold Scott MacDonald Coxeter comprobó que los vértices de un poliedro poliedro uniforme se encuentran todos en una esfera cuyo centro está en su centroide geométrico del poliedro.[2]

Harold Scott MacDonald Coxeter en 1954, conjeturó que hay 75 poliedros uniformes en los que ocurre que sólo dos caras reúnen en cada arista; posteriormente lo demostró.[2]​Los cinco prismas pentagonales también pueden considerarse poliedros uniformes, llevando el total a 80. Además, hay otros dos poliedros en el que cuatro caras se encuentran en cada arista: el Gran icosidodecaedro complejo y el Pequeño icosidodecaedro complejo, ambos son compuestos de dos poliedros uniformes.

1 editar

Except for a single non-Wythoffian case, uniform polyhedra can be generated by Wythoff's kaleidoscopic method of construction. In this construction, an initial vertex inside a special spherical triangle PQR is mapped to all the other vertices by repeated reflections across the three planar sides of this triangle. Similarly, PQR and its kaleidoscopic images must cover the sphere an integral number of times which is referred to as the density d of PQR. The density d>1 is dependent on the choice of angles pi/p, pi/q, pi/r at P, Q, R respectively, where p, q, r are reduced rational numbers greater than one. Such a spherical triangle is called a Schwarz triangle, conveniently denoted (pqr). Except for the infinite dihedral family of (p22) for p=2, 3, 4, ..., there are only 44 kinds of Schwarz triangles (Coxeter et al. 1954, Coxeter 1973). It has been shown that the numerators of p, q, r are limited to 2, 3, 4, 5 (4 and 5 cannot occur together) and so the nine choices for rational numbers are: 2, 3, 3/2, 4, 4/3, 5, 5/2, 5/3, 5/4 (Messer 2002).

A excepción de un solo caso no Wythoffian, poliedros uniforme puede ser generado por el método caleidoscópica de Wythoff de construcción. En esta construcción, un vértice inicial dentro de un triángulo esférico PQR especial se asigna a todos los otros vértices por los reflejos repetidos en los tres lados planos de este triángulo. Del mismo modo, PQR y sus imágenes caleidoscópicos deben cubrir la esfera un número entero de veces que se conoce como la densidad d de PQR. La densidad d> 1 depende de la elección de los ángulos pi / p, pi / q, pi / r en P, Q, R, respectivamente, donde p, q, r se reducen los números racionales mayor que uno.[1]​ Tal un triángulo esférico se llama un triángulo Schwarz, convenientemente denota (PQR). Excepto para la familia diedro infinito de (p22) para p = 2, 3, 4, ..., sólo hay 44 tipos de triángulos Schwarz (Coxeter et al. 1954, 1973 Coxeter). Se ha demostrado que los numeradores de p, q, r se limitan a 2, 3, 4, (no puede ocurrir juntas 4 y 5) 5 y así los nueve opciones para números racionales son:  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,   (Messer 2002).[3]

2 editar

The names of the 75 uniform polyhedra were first formalized in Wenninger (1983, first printed in 1971), based on a list prepared by N. Johnson a few years earlier, as slightly modified by D. Luke. Johnson also suggested a few modifications in the original nomenclature to incorporate some additional thoughts, as well as to undo some of Luke's less felicitous changes. The "List of polyhedra and dual models" in Wenninger (1983) gives revised names for several of the uniform polyhedra. The names of the five pentagonal prisms appeared in Har'El (1993).

Los nombres de los 75 poliedros uniformes se formalizaron por primera vez en Wenninger (1983, impresa por primera vez en 1971), sobre la base de una lista elaborada por N. Johnson unos años antes, como ligeramente modificado por D. Lucas. Johnson también sugirió algunas modificaciones en la nomenclatura original al incorporar algunos pensamientos adicionales, así como para deshacer algunos de los cambios menos afortunadas de Luke. La "Lista de los poliedros y los modelos duales" en Wenninger (1983) da los nombres revisados ​​para varios de los poliedros uniformes. Los nombres de los cinco prismas pentagonales aparecieron en Har'el (1993).

3 editar

Source code and binary programs for generating and viewing the uniform polyhedra are also available at http://www.math.technion.ac.il/~rl/kaleido/. The following depictions of the polyhedra were produced by R. Maeder's UniformPolyhedra.m package for Mathematica. In this package, uniform polyhedra are computed to the desired numerical precision by numerically solving the defining fundamental equation, and lengths are normalized to give a midradius of  .

El código fuente y los programas binarios para la generación y visualización de los poliedros uniformes también están disponibles en http://www.math.technion.ac.il/~rl/kaleido/. Las siguientes descripciones de los poliedros fueron producidos por paquete UniformPolyhedra.m de R. Maeder para Mathematica. En este paquete, poliedros uniformes se calculan con la precisión numérica deseada resolviendo numéricamente la ecuación fundamental definir y longitudes se normalizó en hacerle un midradius de \ scriptstyle \ rho = 1.

4 editar

The following table gives the names of the uniform polyhedra and their duals as given in Wenninger (1983) and Har'El (1993) and with the numbering of Maeder.. Coxeter et al. (1954) give many properties of the uniform solids, and Coxeter et al. (1954), Johnson (2000) and Messer (2002) give the quartic equation for determining the central angle subtending half an edge. The single non-Wythoffian case is the great dirhombicosidodecahedron U_(75) which has pseudo-Wythoff symbol |3/2 5/3 3 5/2.

La siguiente tabla muestra los nombres de los poliedros uniformes y sus duales tal como figura en Wenninger (1983) y Har'el (1993) y con la numeración de Maeder .. Coxeter et al. (1954) dan muchas propiedades de los sólidos uniformes, y Coxeter et al. (1954), Johnson (2000) y Messer (2002) dan la ecuación de cuarto para la determinación del ángulo central que subtiende medio de un borde. El caso no Wythoffian sola es la gran U_ dirhombicosidodecahedron (75) que tiene símbolo pseudo-Wythoff | 3/2 5/3 5/2 3. The polyhedron vertices of a uniform polyhedron all lie on a sphere whose center is their geometric centroid (Coxeter et al. 1954, Coxeter 1973, p. 44. The polyhedron vertices joined to another polyhedron vertex lie on a circle (Coxeter et al. 1954).

5! editar

En el año 2000, Norman Johnson propuso una nueva revisión de los nombres «oficiales» de los poliedros uniformes y sus duales y, al mismo tiempo, ideó un símbolo literal para cada poliedro uniforme. Publicó una lista en la que para cada uno se da el número con el que fue listado por Magnus Wenniger, su símbolo Schläfli modificado (después de Coxeter), un símbolo literal, y su nuevo nombre designado. [4]​ También enumeró los poliedros duales de cada uno, si lo tiene, porque en algunos casos lo poliedros duales presentan anomalías como vértices coincidentes o caras que se extiende hasta el infinito.[5]

En el nuevo sistema de Johnson, los poliedros uniformes se clasifican de la siguiente manera:

  1. Poliedros regulares: (figuras vértices poligonales regulares)
  2. Poliedros cuasirregulares: (rectangular o figuras de vértice ditrigonales)
  3. Poliedros versirregulares: (figuras de vértice orthodiagonal)
  4. Poliedros regulares truncados: (isósceles figuras vértices triangulares)
  5. Poliedros cuasi-cuasi-regulares: (figuras de vértice trapezoidal)
  6. Poliedros versi-cuasi-regulares: (figuras de vértice dipteroidal)
  7. Poliedros cuasirregulares truncados: (figuras de vértice triangular escaleno),
  8. Poliedros cuasirregulares romos: (figuras de vértice pentagonal, hexagonal u octogonal)
  9. Prismas: (hosohedros truncados)
  10. Antiprismas y Antiprismas cruzados: (dihedros romos)

6 editar

Here is a brief description of Johnson's symbols for the uniform polyhedra (Johnson). The star operator * appended to "D" or "E" replaces pentagons {5} by pentagrams {5/2}. The bar operator | indicates the removal from a related figure of a set (or sets) of faces, leaving "holes" so that a different set of faces takes their place. Thus, C|O is obtained from the cuboctahedron CO by replacing the eight triangles by four hexagons. In like manner, rR'|CO has the twelve squares of the rhombicuboctahedron rCO and the six octagons of the small cubicuboctahedron R'CO but has holes in place of their six squares and eight triangles. The operator "r" stands for "rectified": a polyhedron is truncated to the midpoints of the edges. Operators "a", "b", and "c" in the Schläfli symbols for the ditrigonary (i.e., having ditrigonal vertex figures) polyhedra stand for "altered," "blended," and "converted." The operator "o" stands for "ossified" (after S. L. van Oss). Operators "s" and "t" stand for "simiated" (snub) and "truncated."

He aquí una breve descripción de los símbolos de Johnson para los poliedros uniformes (Johnson). El operador de la estrella * anexa a "D" o "E" reemplaza pentágonos {5} por pentagramas {2.5}. El operador de bar | indica la remoción de una figura relacionada de un conjunto (o conjuntos) de caras, dejando "agujeros" de manera que un conjunto diferente de caras toma su lugar. Por lo tanto, C | O se obtiene de la CO cuboctaedro mediante la sustitución de los ocho triángulos por cuatro hexágonos. De la misma manera, rR '| CO tiene las doce plazas de la rhombicuboctahedron RCO y los seis octógonos de la pequeña R'CO cubicuboctahedron pero tiene agujeros en lugar de sus seis plazas y ocho triángulos. El operador "r" es sinónimo de "rectificado": un poliedro se trunca a los puntos medios de los bordes. Operadores "a", "b" y "c" en los símbolos de Schläfli para el ditrigonary (es decir, con figuras de vértice ditrigonales) poliedros significan "alterado", "mezclados", y "convertido". El operador "o" representa "osificada" (después de SL van Oss). Operadores "s" y "t" significa "simiated" (chata) y "truncada".

Referencias editar

  1. a b Weisstein, Eric W. «Uniform Polyhedron». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. Consultado el 14 de junio de 2013. 
  2. a b Coxeter, Harold Scott MacDonald (1973). Regular Polytopes (en inglés). páginas (3° edición). Dover, Estado de Nueva York,   Estados Unidos. 
  3. Maeder, Roman (1993). «Uniform Polyhedra». The mathematica journal (en inglés) (Wolfram Research). Vol.3 (N.4): 48-57. Consultado el 1 de noviembre de 2014. 
  4. Wenninger, Magnus (1989). Polyhedron Models (en inglés). Nueva York,   Estados Unidos: Cambridge University Press. pp. 1-10 y 98. 
  5. Johnson, Norman (2000). Uniform Polytopes (en español). Cambridge,   Reino Unido: Cambridge University Press.