Clausura topológica

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En un espacio topológico la clausura, adherencia, cerradura o cierre de un subconjunto E es el conjunto:

donde es el símbolo para un entorno de x. Es decir, es el conjunto de todos los puntos de adherencia de E.

Una manera de definir un conjunto cerrado es diciendo que "un conjunto es cerrado si y sólo si es igual a su clausura".

Equivalentemente la clausura se puede definir mediante

donde es el conjunto de los puntos de acumulación de .

La clausura de es también la intersección de todos los conjuntos cerrados que contienen a .

PropiedadesEditar

Sea (X, T) un espacio topológico entonces:

  • c = ∅
  • M ⊂ Mc para todo M elemento del conjunto potencia de X.
  • (M ∪ N)c = Mc ∪ Nc
  •  
  • La clausura de la intersección de dos conjuntos está contenida en la intersección de sus respectivas clausuras: (M∩N)c ⊂ Mc ∩ Nc[1]​. Sin embargo, la contención recíproca no siempre se cumple.
  • (Mc)c = Mc para cualquier miembro del conjunto 2X
  • La adherencia   es un conjunto cerrado.
  • La adherencia   es el menor conjunto cerrado que contiene al conjunto  .[2]

ReferenciasEditar

  1. García y otros Topología general
  2. A. N. Kolmogórov S. V. Fomín Elementos de la teoría de funciones y del análisis funcional Editorial Mir Moscú (1972)

BibliografíaEditar

  • Baker, Crump W. (1991), Introduction to Topology, Wm. C. Brown Publisher, ISBN 0-697-05972-3 
  • Croom, Fred H. (1989), Principles of Topology, Saunders College Publishing, ISBN 0-03-012813-7 
  • Gemignani, Michael C. (1990) [1967], Elementary Topology (2nd edición), Dover, ISBN 0-486-66522-4 
  • Hocking, John G.; Young, Gail S. (1988) [1961], Topology, Dover, ISBN 0-486-65676-4 
  • Kuratowski, K. (1966), Topology I, Academic Press 
  • Pervin, William J. (1965), Foundations of General Topology, Academic Press 
  • Schubert, Horst (1968), Topology, Allyn and Bacon 

Véase tambiénEditar