Axiomas de probabilidad

Los axiomas de probabilidad son las condiciones mínimas que deben verificarse para que una función definida sobre un conjunto de sucesos determine consistentemente sus probabilidades. Fueron formulados por Andréi Kolmogórov en 1933.

Axiomas de KolmogórovEditar

Sea   un espacio muestral y   una σ-álgebra de subconjuntos de  .


Una función   es una función de probabilidad sobre   si se cumplen los siguientes axiomas:

A1) La probabilidad de cualquier suceso   es no negativa:

 .

A2) La probabilidad del suceso seguro es igual a uno:

 .

A3) Si   son sucesos mutuamente excluyentes, es decir,  , entonces:

 .

A la terna   se la denomina espacio de probabilidad, esto es, un espacio de sucesos (espacio muestral) en el que se han definido los posibles sucesos a considerar (la σ-álgebra de sucesos) y la probabilidad de cada suceso (la función de probabilidad).

Propiedades que se deducen de los axiomasEditar

De los axiomas anteriores se coligen inmediatamente otras proposiciones de la probabilidad:

  1.   (donde el conjunto vacío   representa en probabilidad el suceso imposible).
  2. Para cualquier suceso,  .
  3.  .
  4. Si  , entonces  .
  5.  
  6.  .
  7.  .
  8.  .
  9.  

EjemplosEditar

Tomamos como espacio muestral los posibles resultados al arrojar un dado  . Tomaremos como σ-álgebra   y como función de probabilidad  , donde   representa el número de elementos del conjunto  .

Es fácil comprobar que esta función verifica los tres axiomas de Kolmogórov:

A1)  , puesto que es el cociente de dos números positivos.

A2)  

A3) Si tenemos   tales que  , entonces:

 .

Por tanto,   es una función de probabilidad sobre  .

ReferenciasEditar

Véase tambiénEditar