Permutación cíclica

tipo de permutación
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Un ciclo que deja fijos a los elementos 2 y 5 y mueve cíclicamente al resto.

Una permutación cíclica (o ciclo) es un tipo especial de permutación que fija cierto número de elementos (quizás ninguno) mientras que mueve cíclicamente el resto. En caso de no fijar ningún elemento lo denominaríamos permutación circular.

Más concretamente, si un ciclo afecta a un elemento x cualquiera del conjunto, al aplicar dicho ciclo reiteradamente todos los elementos afectados por el reordenamiento pasarán por la posición de x en algún momento. Y de forma recíproca, el elemento x pasará por todas las posiciones de todos los elementos afectados por la permutación.

Los ciclos son tipos de permutación especialmente importantes, pues pueden usarse como piezas básicas para construir cualquier otra permutación.

Definición formalEditar

Sea   y  . Un ciclo de longitud   o r-ciclo de   es una permutación   tal que del conjunto   hay   elementos diferentes secuenciados,  , para los cuales se cumple que:

 , de tal manera que   si  .
  y  .

EjemplosEditar

  • La permutación   es un ciclo que no fija ningún elemento. Por ello, también se dice que es una permutación circular.
 
  • La permutación   no es un ciclo, ya que es una permutación compuesta por dos ciclos.
 
De hecho, se demuestra que cualquier permutación puede descomponerse como producto de ciclos disjuntos.[1]
  • Transposición: es un ciclo de longitud 2, es decir, un 2-ciclo.

PropiedadesEditar

Notación: Si un elemento   de un conjunto   se ve 'afectado' por un ciclo   entonces decimos que  .

  • Sea   un ciclo de longitud  , entonces
Si   entonces se puede escribir como
 
y   es el mínimo natural  .
  • Sea   un ciclo de longitud  , entonces
  y además   es el mínimo natural  .
De ésta proposición se deduce directamente el segundo enunciado de la proposición 1.
  • Sea   un ciclo de longitud  , entonces
 

Para calcular el número de permutaciones en una permutación circular se fija arbitráriamente un elemento como el primero y se permuta los restantes, obteniéndose:

 

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar

  1. Birkhoff & MacLane, A survey of modern algebra, McMillan Publishing, 1977. ISBN 0-02-310070-2