Coeficientes Clebsch—Gordan

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Para los coeficientes vea el Anexo:Tabla de coeficientes de Clebsch-Gordan.

En física, los coeficientes de Clebsch-Gordan o coeficientes CG son el conjunto de números que aparecen al acoplar momentos angulares en mecánica cuántica. El nombre deriva de los matemáticos alemanes Alfred Clebsch (1833-1872) y Paul Gordan (1837-1912), que resolvieron un problema equivalente en la teoría de invariantes.

En términos matemáticos, los coeficientes de CG se utilizan en teoría de grupos, en particular en los grupos de Lie para calcular un producto tensorial de representaciones irreducibles como suma directa de la descomposión del mismo en las distintas representaciones irreducibles.

La física emplea esta peculiaridad para descomponer un determinado estado con una determinada base del espacio de Hilbert y una determinada representación en una suma de estados en otra representación que pueda ser más útil, especialmente en el caso de estados en una determinada representación irreducible de SO(3) de rotaciones. En el artículo se utiliza la notación de Dirac.

Definición formalEditar

Sea   un espacio vectorial con   dimensiones representado por los estados   y   otro espacio vectorial con   dimensiones, igualmente representado por los estados  

El producto tensorial de estos espacios,  , tiene   dimensiones. Este espacio se representa con la denominada base desacoplada:  

Puede ser más útil emplear un espacio vectorial suma   (con  ,   y   dimensiones) y utilizar una nueva base, denominada base acoplada, de forma que:

 

Los coeficientes del desarrollo   se denominan coeficientes de Clebsch–Gordan.

Notación en física nuclearEditar

Utilizando una determinada representación, por ejemplo la representación de posiciones, y utilizando la notación de Einstein, podemos escribir:[1]

 

También se suele utilizar emplear la siguiente notación:

 

Ejemplo de uso: acoplamiento de momentos angularesEditar

PropiedadesEditar

OrtogonalidadEditar

La primera de las relaciones de ortogonalidad es:

 

y la segunda:

 

SimetríaEditar

 

Casos especialesEditar

VéaseEditar

ReferenciasEditar

NotasEditar

  1. Aún habiendo índices arriba y abajo no se emplea notación covariante.

BibliografíaEditar

  • Cohen-Tannoudji, Claude; Bernard Diu, Franck Laloë (1977). Quantum Mechanics. vol.1 (3ª edición). París, Francia: Hermann. pp. 898. ISBN 0-471-16432-1. 
  • Eisenberg, J.M. and Greiner, W. (1975). «Nuclear models». North-Holland. 

Véase tambiénEditar