Conjunto bornívoro

En análisis funcional, un subconjunto de un espacio vectorial real o complejo $X$ que tiene definida una bornología vectorial ${\mathcal {B}}$ asociada se denomina conjunto bornívoro o simplemente bornívoro, si absorbe a cada elemento de ${\mathcal {B}}.$ Si $X$ es un espacio vectorial topológico (EVT), entonces un subconjunto $S$ de $X$ es bornívoro si es bornívoro con respecto a la bornología de von-Neumann de $X$.

Los conjuntos bornívoros juegan un papel importante en las definiciones de muchas clases de espacios vectoriales topológicos, particularmente del espacio bornológico.

Definiciones

Si $X$ es un EVT, entonces un subconjunto $S$ de $X$ se llama bornívoro ​ si $S$ absorbe cada subconjunto acotado de $X.$

Un disco absorbente en un espacio localmente convexo es bornívoro si y solo si su funcional de Minkowski está limitado localmente (es decir, asigna conjuntos acotados a conjuntos acotados).​

Conjuntos infrabornívoros y aplicaciones infraacotadas

Una aplicación lineal entre dos EVT se denomina infraacotada si asigna discos de Banach a discos acotados.​

Un disco en $X$ se llama infrabornívoro si absorbe a cualquier disco de Banach.​

Un disco absorbente en un espacio localmente convexo es infrabornívoro si y solo si su funcional de Minkowski está infraacotado.​ Un disco en un espacio de Hausdorff localmente convexo es infrabornívoro si y solo si absorbe todos los discos compactos (es decir, si es "compactívoro"). ​

Propiedades

Cada subconjunto bornívoro o infrabornívoro de un EVT es absorbente. En un EVT pseudometrizable, cada subconjunto bornívoro es un entorno del origen.​

Dos topologías en el mismo espacio vectorial EVT tienen los mismos subconjuntos acotados si y solo si tienen los mismos subconjuntos bornívoros.​

Supóngase que $M$ es un subespacio vectorial de codimensión finita en un espacio localmente convexo $X$ y $B\subseteq M.$ Si $B$ es un barril (respectivamente, barril bornívoro y disco bornívoro) en $M$, entonces existe un barril (respectivamente, barril bornívoro y disco bornívoro) $C$ en $X$ tal que $B=C\cap M.$​

Ejemplos y condiciones suficientes

Cada entorno del origen en un EVT es bornívoro. La envolvente convexa, la envolvente convexa cerrada y la envolvente equilibrada de un conjunto de bornívoros son nuevamente bornívoras. La preimagen de un bornívoro bajo una aplicación lineal acotada es un bornívoro.​

Si $X$ es un EVT en el que cada subconjunto acotado está contenido en un subespacio vectorial de dimensión finita, entonces cada conjunto absorbente es un bornívoro.​

Contraejemplos

Sea $X$ $\mathbb {R} ^{2}$ un espacio vectorial sobre los reales. Si $S$ es el recubrimiento equilibrado del segmento rectilíneo cerrado entre $(-1,1)$ y $(1,1)$, entonces $S$ no es bornívoro, pero el recubrimiento convexo de $S$ sí que lo es. Si $T$ es el triángulo cerrado y "relleno" con vértices $(-1,-1),(-1,1),$ y $(1,1)$, entonces $T$ es un conjunto convexo que no es bornívoro, pero su envolvente equilibrada sí que lo es.

Véase también

• Operador lineal acotado
• Conjunto acotado (espacio vectorial topológico)
• Espacio bornológico
• Bornología
• Espacio de aplicaciones lineales
• Espacio ultrabornológico
• Bornología vectorial

Bibliografía

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