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En teoría de números, concretamente en aritmética modular, el criterio de Euler es utilizado para calcular si un número entero x es un residuo cuadrático módulo un número primo. Su nombre se debe al matemático suizo Leonhard Euler.

EnunciadoEditar

Sea p > 2 un número primo y a un número entero coprimo con p. Entonces a es un residuo cuadrático módulo p si y solo si

 

Como corolario de este teorema se obtiene que si a no es un residuo cuadrático módulo p entonces

 

Así, el criterio de Euler puede ser reformulado de manera más compacta usando el símbolo de Legendre:

 

DemostraciónEditar

Supongamos que  . Se sabe por el pequeño teorema de Fermat que si p es primo y es coprimo con a, es decir, p no divide al número a, entonces  . Luego tenemos

   
 
 

A la inversa, suponemos que  . Sea b un elemento primitivo modulo p. Entonces   para algún i. Luego tenemos

   
 

Como b es de orden p-1, debe darse el caso que p-1 divide a i(p-1)/2. Por lo tanto, i es par, y las raíces cuadradas de a son  .

BibliografíaEditar

  • Tom M. Apostol (1976): Introduction to Analytic Number Theory, Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9, (Capítulo 9.2)

Enlaces externosEditar