Criterio del cociente

El criterio del cociente o criterio de d'Alembert se utiliza para determinar la convergencia o divergencia de una serie de términos positivos cualquiera, y por tanto, hacer una clasificación de esta.

Jean le Rond d'Alembert.

Definiendo con $n$ a la variable independiente de la sucesión, dicho criterio establece que si llamamos respectivamente $\limsup$ y $\liminf$ a los límites superior e inferior de la sucesión $\textstyle {A_{n+1} \over A_{n}}$ se obtienen cada uno de los siguientes casos:

• Si $\limsup <1,\ A_{n}$ converge.
• Si $\liminf >1,\ A_{n}$ diverge.
• Si $\liminf \leq 1\leq \limsup$, el criterio no decide y es necesario calcular el límite de otro modo.

En el caso particular de que dicha sucesión sea convergente tendremos entonces que $\liminf =\limsup =L$, siendo $L$ el límite de la sucesión, por lo que el estudio se puede simplificar a los siguientes casos:

• Si $L<1,\ A_{n}$ converge.
• Si $L>1,\ A_{n}$ diverge.
• Si $L=1$, el criterio no decide y es necesario calcular el límite de otro modo.

Formalización del método

El criterio de D'Alembert se utiliza para clasificar las series numéricas. Podemos enunciarlo de la siguiente manera:

Sea: $\sum _{n=0}^{\infty }f(n)$

Tal que:

• $f(n)>0$ (o sea una sucesión de términos positivos) y
• $f(n)$ tienda a cero cuando $n$ tiende a infinito (condición necesaria de convergencia)

Se procede de la siguiente manera:

De las dos condiciones anteriores tenemos que la sucesión $\textstyle {\frac {f(n+1)}{f(n)}}$ está acotada

1) Si además de acotada, dicha sucesión es convergente calculamos:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {f(n+1)}{f(n)}}=L$

Así obtenemos $L$ y se clasifica de la siguiente manera:

• $L<1$ la serie converge
• $L>1$ la serie diverge
• $L=1$ el criterio no sirve, por lo cual hay que aplicar otro criterio.

2) Si la sucesión ${\frac {f(n+1)}{f(n)}}$ no es convergente, como sucesión acotada que es, tendrá límites superior e inferior finitos.

Ahora bien habrá que calcularlos y proceder a aplicar el criterio más general:

$\limsup _{n\to \infty }{\frac {f(n+1)}{f(n)}}=\limsup$

$\liminf _{n\to \infty }{\frac {f(n+1)}{f(n)}}=\liminf$

Con $\limsup$ y $\liminf$ se clasifica de la siguiente manera:

• Si $\limsup <1$, la serie converge.
• Si $\liminf >1$, la serie diverge.
• Si $\liminf \leq 1\leq \limsup$, el criterio no sirve, por lo cual hay que aplicar otro criterio.

Ejemplo

Si $f(n)={\frac {n+1}{n!}}$, clasificar $\sum _{n=1}^{\infty }f(n)$.

a)$f(n)={\frac {n+1}{n!}}>0$

b) ${\frac {n+1}{n!}}$ tiende a cero conforme crece $n$ (porque el factorial crece más rápidamente que n+1)

$L=\lim _{n\to \infty }{\frac {f(n+1)}{f(n)}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {\frac {n+2}{(n+1)!}}{\frac {n+1}{n!}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n+2}{(n+1)!}}{\frac {n!}{(n+1)}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {(n+2)}{(n+1)^{2}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {(n+1)+1}{(n+1)^{2}}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{(n+1)^{2}}}\right)=0$

y como $L<1$, la serie $\sum _{n=1}^{\infty }f(n)$ converge.

Véase también

• Jean Le Rond d'Alembert
• Criterio de la raíz

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Ratio Test». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Ratio Test en PlanetMath.

• Datos: Q165638