Criterio de fluencia de Drucker-Prager

El criterio de fluencia de Drucker-Prager es un modelo dependiente de la presión que determina si un material ha sobrepasado el límite elástico.​ Este criterio fue introducido para tratar de representar la deformación plástica de los suelos. El criterio de Drucker-Prager, así como sus muchas variantes, han sido aplicados para rocas, hormigón, polímeros, espumas y otros materiales que presentan un comportamiento dependiente de la presión.

Expresión

El criterio de plastificación de Drucker-Prager tiene la siguiente forma:

${\sqrt {J_{2}}}=A+B~I_{1}$

donde:

$I_{1}\,$ es el primer invariante del tensor de tensión y

$J_{2}\,$ es el segundo invariante del tensor desviador resultante de la descomposición de octaédrica y desviador del tensor de tensiones.

$A,B$ dos constantes que se determinan a partir de experimentos.

En términos de la tensión de Von Mises y la tensión hidrostática (o tensión media), el criterio de Drucker-Prager puede expresarse como:

$\sigma _{e}=a+b~\sigma _{m}$

donde $\sigma _{e}$ es la tensión equivalente de Von Mises, $\sigma _{m}$ es la tensión hidrostática, y $a,b$ son constantes del material.

El criterio de Drucker-Prager expresado en coordenadas de Haigh–Westergaard es:

${\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\rho -{\sqrt {3}}~B\xi =A$

La superficie de fluencia de Drucker-Prager es una versión más ajustada de la superficie de fluencia de Mohr-Coulomb.

Expresiones para A y B

El criterio de Drucker–Prager puede escribirse en función de las tensiones principales como:

${\sqrt {{\cfrac {1}{6}}\left[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\right]}}=A+B~(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})~.$

Si $\sigma _{t}$ es el límite de fluencia en tracción uniaxial, el criterio de Drucker–Prager conduce a:

${\cfrac {1}{\sqrt {3}}}~\sigma _{t}=A+B~\sigma _{t}~.$

Análogamente, si $\sigma _{c}$ es el límite de fluencia en compresión uniaxial, el criterio de Drucker–Prager conduce a:

${\cfrac {1}{\sqrt {3}}}~\sigma _{c}=A-B~\sigma _{c}~.$

Resolviendo las dos ecuaciones anteriores:

$A={\cfrac {2}{\sqrt {3}}}~\left({\cfrac {\sigma _{c}~\sigma _{t}}{\sigma _{c}+\sigma _{t}}}\right)~;~~B={\cfrac {1}{\sqrt {3}}}~\left({\cfrac {\sigma _{t}-\sigma _{c}}{\sigma _{c}+\sigma _{t}}}\right)~.$

Relación de asimetría uniaxial

El modelo de Drucker-Prager es capaz de predecir distintos límites de fluencia en tracción y compresión. La relación de asimetría uniaxial para el modelo de Drucker–Prager es:

$\beta ={\cfrac {\sigma _{\mathrm {c} }}{\sigma _{\mathrm {t} }}}={\cfrac {1-{\sqrt {3}}~B}{1+{\sqrt {3}}~B}}~.$

Expresiones en función de la cohesión y el ángulo de fricción

Puesto que la superficie de fluencia de Drucker–Prager es una versión más ajustada de la superficie de fluencia de Mohr-Coulomb, el modelo de Drucker-Prager es a menudo expresado en función de la cohesión ($c$) y el ángulo de fricción interna ($\phi$) que son utilizados para describir la superficie de fluencia de Mohr-Coulomb. Si se asume que la superficie de fluencia de Drucker-Prager circunscribe a superficie de fluencia de Mohr–Coulomb, entonces las expresiones para $A$ y $B$ son:

$A={\cfrac {6~c~\cos \phi }{{\sqrt {3}}(3+\sin \phi )}}~;~~B={\cfrac {2~\sin \phi }{{\sqrt {3}}(3+\sin \phi )}}$

Si la superficie de fluencia de Drucker-Prager queda inscrita en la superficie de fluencia de Mohr–Coulomb, entonces:

$A={\cfrac {6~c~\cos \phi }{{\sqrt {3}}(3-\sin \phi )}}~;~~B={\cfrac {2~\sin \phi }{{\sqrt {3}}(3-\sin \phi )}}$

Obtención de las expresiones para $A,B$ en función de $c,\phi$

La expresión para la superficie de fluencia de Mohr-Coulomb en el espacio de Haigh–Westergaard es: $\left[{\sqrt {3}}~\sin \left(\theta +{\tfrac {\pi }{3}}\right)-\sin \phi \cos \left(\theta +{\tfrac {\pi }{3}}\right)\right]\rho -{\sqrt {2}}\sin(\phi )\xi ={\sqrt {6}}c\cos \phi$ Si se asume que la superficie de fluencia de Drucker-Prager circunscribe a la superficie de fluencia de Mohr–Coulomb de tal forma que ambas superficies coinciden en $\theta ={\tfrac {\pi }{3}}$, entonces en estos puntos la superficie de fluencia de Mohr–Coulomb puede expresarse como: $\left[{\sqrt {3}}~\sin {\tfrac {2\pi }{3}}-\sin \phi \cos {\tfrac {2\pi }{3}}\right]\rho -{\sqrt {2}}\sin(\phi )\xi ={\sqrt {6}}c\cos \phi$ O como: ${\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\rho -{\cfrac {2\sin \phi }{3+\sin \phi }}\xi ={\cfrac {{\sqrt {12}}c\cos \phi }{3+\sin \phi }}\qquad \qquad (1.1)$ El criterio de fluencia de Drucker–Prager expresado en coordenadas de Haigh–Westergaard es: ${\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\rho -{\sqrt {3}}~B\xi =A\qquad \qquad (1.2)$ Comparando las ecuaciones (1.1) y (1.2), se tiene: $A={\cfrac {{\sqrt {12}}c\cos \phi }{3+\sin \phi }}={\cfrac {6c\cos \phi }{{\sqrt {3}}(3+\sin \phi )}}~;~~B={\cfrac {2\sin \phi }{{\sqrt {3}}(3+\sin \phi )}}$ Estas son las expresiones para $A,B$ en términos de $c,\phi$. Por otro lado, si la superficie de fluencia de Drucker–Prager queda inscrita en la de Mohr–Coulomb, entonces haciendo coincidir las dos superficies en $\theta =0$ se obtiene: $A={\cfrac {6c\cos \phi }{{\sqrt {3}}(3-\sin \phi )}}~;~~B={\cfrac {2\sin \phi }{{\sqrt {3}}(3-\sin \phi )}}$

Referencias

• Datos: Q421507