Desarrollo usando fracciones continuas

Un sistema de gran utilidad es el de los número reales, que surgió para responder, básicamente, el asunto de las medidas. pero la dificultad que surgión con la al darse cuenta de que no era un número racional buscaron métodos de aproximación y uno de ellos es a través de fracciones continuas que cayó en desuso, al impulsarse la enseñanza de la Matemática moderna. Pero por el uso de las computadoras y su carácter algorítmico, motiva su estudio.

Presentamos diferentes aproximaciones: 1, 1.41, 1.41, 1.4142, y así sucesivammente ( no termina),son aproximaciones al número cuyo cuadrado es 2.. Por ejemplo, uno de los convergentes de p es 22/7 -debido a Arquímedes-, la aproximación familiar, y ninguna fracción con denominador menor que 7 es una mejor aproximación. Y otra es la de la fracción 355/113.

Es evidente de la forma del desarrollo como fracción continua que si x es la fracción continua entonces es la parte entera de x; esto es, el máximo entero no mayor que x.

Secuencia sugerenteEditar

Veamos con atención el caso de  

La expresión  

donde   son números naturales,   es un número natural o cero, que se denomina fracción continua.

Los números   se denominan elementos de una fracción continua. Se puede decir que hemos desarrollado el número   en fracción continua.

Ahora ilustraremos el método de desarrollo, mediante el siguiente.

EjemploEditar

Encuentre el desarrollo de 573/227 como fracción continua. Ahora,  , donde  , donde  , donde  , donde  , donde  .

Casos históricosEditar

  • El número de Arquímedes (22/7).
  • El problema matemático del calendario: Juliano vs. Gregoriano.
  • El año de los Mayas: mejor aproximación.
  • La sucesión de Figonacci y sus diferentes variantes está vinculado al tema de las fracciones continuas.

BibliografíaEditar

  • Beskin, N.: Fracciones maravillosas. 1987. Editorial Mir. Moscú, Rusia.
  • Niven y Zuckerman. Introducción a la teoría de números. 1985. Editorial Limusa. Impreso en México, 2.ª reimpresión.
  • Vinogradov, I.: Fundamentos de la teoría de los números. 1977. Editorial Mir. Moscú, Rusia. 2.ª edición. Traducción al español: 1977

Véase tambiénEditar