Ecuación diferencial exacta

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En matemáticas, una ecuación diferencial exacta es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden que presenta la forma:

donde las derivadas parciales de las funciones M y N: y son iguales. Esto es equivalente a decir que existe una función tal que:

donde y .

Dado que es una función diferenciable, entonces, por el teorema de Clairaut, sus derivadas cruzadas deben ser iguales. Esto significa que:

.

Método de resolución

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Para resolver una ecuación diferencial de este tipo, se ha de seguir los siguientes pasos:

  • Comprobar la exactitud de la ecuación, esto es, verificar si las derivadas parciales de M (con respecto a y) y de N (con respecto a x) son iguales.
  • Se integra M o N a conveniencia (M respecto a x o N respecto a y) obteniéndose de este modo la solución general de la ecuación aunque con una función incógnita g que aparece como constante de integración. Esto es:
 
  • Para despejar la función g se deriva   con respecto a la variable dependiente de g.
 
 
  • Se iguala la derivada parcial recién calculada de   con M o N (si se integró M se iguala a N y viceversa.), despejando y luego integrando con respecto a la variable dependiente de g; de este modo se encontrará la función g.
 
 


 
 
  • Finalmente se reemplaza el g encontrado en la solución general  .
 
 

Factor integrante

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Si una ecuación diferencial no es exacta, podría llegar a serlo si se multiplica por una función especial   llamada factor integrante, tal que:

  sea exacta.

Cabe destacar que bajo ciertas condiciones el factor integrante siempre existe, pero solo para algunas formas de ecuaciones diferenciales es posible encontrarlo fácilmente:

Factor integrante sólo en función de x.

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Si la ecuación diferencial posee un factor integrante de la forma  , entonces se puede hallar su expresión mediante la siguiente fórmula:

 

Cabe decir que para que   exista, es condición necesaria y suficiente que el miembro   tiene que ser función únicamente de x. (Aclarando que   y   equivalen a las parciales de estas;   y   respectivamente).

Ejemplo:  , entonces   y por lo tanto   por lo que tenemos la ecuación exacta:
 
La solución general viene dada implícitamente por:  

Factor integrante sólo en función de y.

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Si la ecuación diferencial posee un factor integrante de la forma  , entonces se puede hallar su expresión mediante la siguiente fórmula:

 
Ejemplo:  , entonces   y por lo tanto   por lo que tenemos la ecuación exacta:
 
La solución general viene dada implícitamente por:  

Factor integrante sólo en función de x+y.

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Si la ecuación diferencial posee un factor integrante de la forma  , entonces se puede hallar su expresión mediante la siguiente fórmula:

  Con  
Ejemplo:  , entonces   y por lo tanto   por lo que tenemos la ecuación exacta:
 
La solución general viene dada implícitamente por:  

Factor integrante sólo en función de x·y.

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Si la ecuación diferencial posee un factor integrante de la forma  , entonces se puede hallar su expresión mediante la siguiente fórmula:

  Con  

Donde   M·x

Cabe mencionar que:

 
Ejemplo:  , entonces   y por lo tanto   por lo que tenemos la ecuación exacta:
 
La solución general viene dada implícitamente por:  

Factor integrante sólo en función de  

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Si la ecuación diferencial posee un factor integrante de la forma  , entonces se puede hallar su expresión mediante la siguiente fórmula:

  Con  
Ejemplo:  , entonces   y por lo tanto   por lo que tenemos la ecuación exacta:
 
La solución general viene dada implícitamente por:  

Bibliografía

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  • Tom M. Apostol (1979): Análisis matemático. ISBN 84-291-5004-8.
  • Zill, Dennis G. (2006): Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado. Octava edición. Thomson Learning Iberoamericana. México D.F., México. ISBN 970-686-487-3.
  • Olivos, Elena; Mansilla, Angélica (2005): Ecuaciones Diferenciales, 100 Problemas Resueltos. Primera Edición. Editorial Universidad de La Frontera. Temuco, Chile.

Véase también

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