Dimensión de empaquetado

La dimensión fractal de empaquetado es una forma de dimensión fractal que en ciertos casos difiere de las dimensiones fractales de Minkowski-Bouligand y de Hausdorff-Besicovitch.

Definiciones

La definición de la dimensión de empaquetado es similar a la dimensión de Hausdorff-Besicovitch, aunque en muchos casos difiere numéricamente de la misma. La diferencia clave entre ambas está en que la de Hausdorff-Besicovitch se define tomando el ínfimo de recubrimientos de diámetro acotado superiormente, mientras que la de empaquetamiento se define tomando el supremo de empaquetamientos de diámetro acotado superiormente.

Medida de empaquetamiento

Un δ-empaquetamiento sobre $E\subset \mathbb {R} ^{n}$ se define como un colección finita o numerable de bolas abiertas disjuntas $\{B_{i}\}$ con radio menor que δ y centros sobre el conjunto $E\,$. Para δ > 0 se define:

${\mathcal {P}}_{0}^{s}(E)=\lim _{\delta \to 0}\sup \left\{\sum _{i=1}^{\infty }|B_{i}|^{s}:\{B_{i}\}{\mbox{es un }}\delta {\mbox{-empaquetamiento sobre }}E\right\}$

Como desafortunadamente, ${\mathcal {P}}_{0}^{s}$ no es una medida en el sentido de la teoría de la medida (por no ser contablemente subaditiva), se hace necesario, para salvar esta dificultad, definir otra entidad:

${\mathcal {P}}^{s}(E)=\inf \left\{\sum _{i=1}^{\infty }{\mathcal {P}}_{0}^{s}(E_{i}):E\subset \bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right\}$

que ahora sí es una medida de Borel sobre $\mathbb {R} ^{n}$, y permite definir la dimensión de empaquetamiento. Esta última medida se denomina medida s-dimensional de empaquetado. Similarmente a como sucede con la medida de Hausdorff, para variedades diferenciables de dimensión entera, ${\mathcal {P}}^{1},{\mathcal {P}}^{2},\dots$ son interpretables como la longitud, el área, etc. Sin embargo conjuntos propiamente fractales con para valores no enteros del superíndice ${\mathcal {P}}^{s}$, esta medida puede difererir notablemente de la medida de Hausdorff ${\mathcal {H}}^{s}$, aunque siempre se cumple que para cualquier conjunto medible:

${\mathcal {H}}^{s}(A)\leq {\mathcal {P}}^{s}(A)$

Dimensión de empaquetamiento

Tal como sucede para la dimensión de Hausdorff-Besicovitch, existe un valor umbral s₀, llamado dimensión de empaquetado (o dimensión de empaquetamiento), tal que:​

$\forall s<s_{0}:{\mathcal {P}}^{s}(E)=\infty$ y $\forall s>s_{0}:{\mathcal {P}}^{s}(E)=0$

Por esa razón se puede definir la dimensión de empaquetado simplemente como:

$\dim _{P}E=\inf\{s:{\mathcal {P}}^{s}(E)=0\}=\sup\{s:{\mathcal {P}}^{s}(E)=\infty \}$

Obviamente de las propiedades de la medida de Hausdorff-Besicovitch y de la medida de empaquetamiento se sigue que:

$\dim _{HB}E\leq \dim _{P}E$

Referencias

Bibliografía

• Falconer, Kenneth (1997). «2. Review of fractal geometry». Techniques in Fractal Geometry (en inglés). John Wiley & Sons. pp. 19-40. ISBN 0 471 95724 0. 

• Datos: Q5404299