Discusión:Covarianza y contravarianza

Amigos esta convención de indexación es la más inadecuada pues para cuando se hable formas diferenciales en el sentido tradicional, las formas diferenciales de orden uno como $dx^{1},dx^{2},dx^{3}\,$ designa la base covariante coordenada (en tres dimesiones). Sus duales son

${\frac {\partial }{\partial x^{1}}},{\frac {\partial }{\partial x^{2}}},{\frac {\partial }{\partial x^{3}}}$

de tal manera que

$dx^{i}({\frac {\partial }{\partial x^{j}}})={\frac {\partial x^{i}}{\partial x^{j}}}=\delta _{j}^{i}$.

En otras palabras, los $e^{i}\,$ son los covariantes, no los contravariantes.

Otra cosa, se oye mejor covarianza y contravarianza y así se usa en latino-américa. pps--kid 03:27 20 feb 2007 (CET)

Vaya, pues fallo mío, porque como yo uso "covariancia" creí que era de uso general, pero realmente me decidí a trasladarlo porque "covarianza" para mí es un concepto estadístico, mientras que "covariancia" es un concepto tensorial. En cualquier caso "covariancia" es un cultismo como tantos otros que existen en español (ganancia, importancia, ...). En cuanto a la indexación de de las componentes y de la base creo que seguimos necesitando criterios opuestos si uno quiere escribir un vector como $\mathbf {V} =V^{\alpha }{\hat {\mathbf {e} }}_{\alpha }$ Davius 22:25 20 feb 2007 (CET)

My friend: Se usa $F_{ab}dx^{a}\wedge dx^{b}$ para designar a un campo electro-magnético, no? Las leyes de la física se tratan de forma covariante y en la misma manera que los objetos $dx^{a}$ son la base covariante del espacio dual y sus duales $\partial _{a}={\frac {\partial }{\partial x^{a}}}$ son los contravariantes (base del tangente)... esto lo puedes checar en cualquier libro decente de relatividad (e.g. Misner-Thorne-Wheeler). Desde luego que un vector en $V\in \mathbb {R} ^{n}$ se escribe $V=V^{a}b_{a}$ (en alguna base $b_{a}$) y es un objeto contravariante. Si se tiene una métrica $g_{ij}=\langle b_{i},b_{j}\rangle \,$, entonces la base reciproca es $b^{i}=g^{is}b_{s}\,$ y sirven para representar (en el sentido de Riesz) a los covectores

$\beta ^{i}(\quad )=\langle b^{i},\quad \rangle$

que son funcionales lineales $\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ y cumplen $\beta ^{i}(b_{j})={\delta ^{i}}_{j}$... saludos--kid 21:44 4 mar 2007 (CET)