Discusión:Número real

El articulo esta sihttp://es.wikipedia.org/skins-1.5/common/images/button_media.png Enlace a archivo multimedian terminar. Recuerdo que hay otras maneras de definir los numeros reales sin utilizar las cortaduras de Dedenkin (secciones iniciales abiertas,...). Aqui puede tratarse otra manera distinta para definir R que partiria de la incompletitud de la estructura topologica de Q y la necesidad de esta compleccion. Tambien echo en falta algo de "historia de R" (numeros conmensurables e inconmensurables; descubrimiento de los numeros irracionales, Pitagoras...) En definitiva, es un tema muy amplio y necesita toda la ayuda posible.

Hay una definición muy simple y fácil de entender que dice más o menos así:

Consideremos las expresiones $A.a_{1}a_{2}a_{3}\ldots$ donde A es un entero no negativo y los interminables enteros $a_{i}$ tales que $0\leq a_{i}\leq 9$ y no forman colas de 9 como $A.a_{1}a_{2}\ldots a_{n}999999\ldots$, a este conjunto sin contar el $0.000\ldots$ se le llama el conjunto de los reales positivos y se denota por $\mathbb {R} ^{+}$.

El conjunto de los reales negativos ($\mathbb {R} ^{-}$) es el conjunto de los reales positivos con signo $-$ antepuesto.

El conjunto de los números reales $\mathbb {R}$ es la unión de $\mathbb {R} ^{+}$, $\mathbb {R} ^{-}$ y $\left\{0.000\ldots \right\}$.

NOTA: Si no se descartan las colas de 9, el uno tendría dos expanciones decimales: $1.00000\ldots$ y $0.99999\ldots$ — El comentario anterior es obra de Kn (disc. · contr. · bloq.), quien olvidó firmarlo. --Beto29 (discusión) 23:33 20 abr 2006 (CEST)

Completitud, y no continuidad.

He eliminado del texto el siguiente párrafo erroneo:

La principal característica del conjunto de los números reales es la continuidad, es decir, cuando se dice que un número se aproxima arbitrariamente a otro, por ejemplo, a 2, la continuidad de los números reales permite que existan números cada vez más cercanos a 2 como 1.9, 1.99, 1.999, etc., por un lado, o 2.1, 2.01, 2.001, etc. por el otro.

Desde el punto de vista matemático, la propiedad expresada en el párrafo no es la continuidad, sino la propiedad de ser divisible. Esta propiedad se enuncia diciendo que entre dos números reales distintos existen infinitos números reales, y es la que permite realizar la aproximación del ejemplo del párrafo. Pero no es una propiedad exclusiva del conjunto de números reales, pues también es propia del conjunto de los números racionales. De hecho, en el ejemplo del párrafo no se utiliza en ningún momento ningún número real que no sea racional.

Imagino que la propiedad a la que el autor del párrafo pretendía referirse es a la de completitud (y no continuidad, término que en Matemática se reserva exclusivamente a funciones, y no a conjuntos en general). La completitud sí es una propiedad que tiene el conjunto de números reales y de la cual carece el conjunto de números complejos. Viene a decirnos que toda sucesión de Cauchy de números reales tiene límite. En lenguaje llano, esto nos permite considerar cada número real como el límite de alguna sucesión de números racionales --que no es lo mismo que decir que podemos aproximarnos tanto como queramos a cualquier número real, puesto que esto también lo podemos hacer en el conjunto de números racionales.

Saludos: --Wewe 20:00 6 dic 2006 (CET)

En ocasiones a la completitus de los reales se la denomina continuidad (carácter continuo en oposición al carácter discreto de los racionals, como mencionas).

Hablar de continuidad puede dar lugar a confusión con la idea de conttinuidad funcional, como dices, pero hablar de completitud puede también inducir a errores con la completitud de un sistema axiomático (sobre si definimos los reales axiomáticamente).

La continuidad es un concepto aplicado a funciones y sucesiones. -- m:drini 03:09 25 sep 2008 (UTC)´

AQUI UN PEQUEÑO APORTE: Número Real es aquel número, definido o indefinidamente exacto(como los racionales y los irracionales)(muy grande o muy pequeño que sea)sin embargo es más explicable graficamente desde el punto de vista Geométrico.Ademas es correcto usar los terminos:completitud de los reales, continuidad de los reales siempre que se sepa el tema que estudiamos. Pero puedo darles más explicación topológica en mi blogs:http://yonatanaguilar.blogspot.com/

Reescritura

Los artículos geometría analítica, número real, álgebra son quizás los 3 artículos matemáticos más visitados (más de 100 mil consultas mensuales), y en este caso disponemos de un artículo pobre (excesivamente técnico, con una sección de historia menor que la de notación, evolucionando en un agregado bastante disconexo de información). Me propongo trabajarlo, pero al ser un tema extenso y complejo no puedo hacerlo en unos pocos días. Además agradecería mucho si los compañeros que dispongan de los conocimientos necesarios para tratar este tema pueden dar una mano ya sea editando o simplemente con comentarios y sugerencias. Gracias. -- m:drini 04:51 25 sep 2008 (UTC)

Más adelante se ilustrara todos lo que es numeros reales para asi tener un conocimientos mas ambio (en proceso)

Construcción de reales por encajes de intervalos

• Una "sucesión anidada" o encaje de intervalos racionales es una sucesión de intervalos cerrados con puntos extremos racionales a_n, b_n, con cada intervalo contenido en el precedente, cuyas longitudes forman una sucesión nula

a_n-1 ≤ a _n≤ b_n ≤ b_n-1

lím ( b_n - a_n) = 0, cuando n tiende a infinito.

• Un encaje de intervalos da lugar a la separación de los racionales en tres clases, una la izquierda de los intervalos J_n, para n suficientemente grande. La segunda clase consiste de los números racionales J_n, esta clase se reduce a lo más a un número, puesto que las longitud de J_n se reduce a cero con n creciente. Y la tercera clase por los racionales a la derecha de J_n para n suficientemente grande. Si la segunda clase no es vacía contiene un número racional. Si la segunda clase es vacía no representa un número racional; estas sucesiones anidadas sirven para representar números irracionales. ​. Esta construcción fue propuesta por el matemático alemán George Cantor ​

Reales naturales

Existe un subconjunto propio N de los reales ​tal que: i) 0 está en N y si n está en N, lo está también n + 1. ii) Sea S un subconjunto de N que satisface j) 0 está en S, jj) s+1 está en S, siempre que s es miembro de S, entonces

S = N ( Principio de inducción matemática)

Entero real

z es entero real si z es natural o el opuesto de real natural​

Potencias naturales de los reales

Sea a cualquier número real se define por inducción la potencia natural de n ​

a⁰ = 1

aⁿ = a^n-1a

si n es negativo y a ≠ 0 entonces aⁿ = 1/a^-n

Propiedades

• a^maⁿ = a^m+n ​

• (a^m)ⁿ = a^mn

• a^-n = 1/aⁿ, en donde a ≠ 0 ​

• (ab)^m = a^mb^m .

Cero se considera real natural

1. Para usar en aplicación del principio de inducción matemática
2. Para escribir los naturales en cualquier base de un sistema de numeración, que reclama el 0.
3. Para definir la potencia cero de un número, inductivamente como lo hace 'todo el mundo'
4. Para denotar el término inicial de una sucesión en muchos casos.
5. Para enumerar las raíces enésimas complejas de la unidad desde 0 hasta n-1.
6. El cero se identifica con ∅ y con la clase de los conjuntos que no tienen elementos.​

Véase Potenciación y contraste, puede ser de utilidad para sus futuras confecciones.--Marianov (discusión) 16:26 28 may 2014 (UTC)

¿Por qué hay un apartado en el artículo entre interrogaciones?

El apartado en cuestión es Construcciones de R --> Sucesiones de Cauchy. ¿Es por que le falta referencias, se considera que no debería estar ahí, fue una edición de vandalismo que pasó por alto...? En cualquier caso, se pone o no se pone, pero no se deja como si no debiera estar.

--DavosMat (discusión) 18:00 28 ene 2015 (UTC)

Los signos de interrogación fueron añadidos por un anónimo en esta edición. La IP asegura que hay un error: «Hay error. Sólo está aplicando el Principio de Weirstrass». Pongo la plantilla de cita requerida por mientras alguien puede corregirlo o confirmar de que se trata de un error. Y desde luego, quito las interrogaciones. Gustavo Rodríguez DISCUSIÓN 18:25 28 ene 2015 (UTC)