Doble producto vectorial

Llamamos doble producto vectorial (o también triple producto vectorial) de tres vectores a la expresión    o   ; esto es, el producto vectorial de dos vectores se multiplica vectorialmente por un tercer vector.

Doble producto vectorial de tres vectores a, b y c.

Para calcular el doble producto vectorial se utiliza la siguiente fórmula:

demostrada más adelante.

PropiedadesEditar

 
Regla del cerdito para doble producto vectorial de tres vectores a, b y c.
  • Según la fórmula,   es un vector contenido en el plano definido por los vectores B y C.
  • El producto vectorial no tiene la propiedad asociativa, ya que es antisimétrico (o anticonmutativo).

El vector

 

está contenido en el plano definido por los vectores A y B, por lo que, en general, será

 

con lo cual resulta fundamental la colocación de los paréntesis.

 

Notación de Levi-CivitaEditar

Con la notación de Levi-Civita, el doble producto vectorial se expresa en la forma

 

Estas fórmulas son muy útiles a la hora de simplificar un vector en física. Por ejemplo, una igualdad relacionada con los gradientes, y muy útil en el cálculo de vectores es:

 

Esto también puede ser considerado como un caso especial del más conocido como operador de Laplace-deRham: Δ = dδ + δd.

DemostraciónEditar

 
Gráfico tridimensional del doble producto vectorial A x (B x C)

Sea   el doble producto vectorial buscado, se puede llegar a una expresión que esté en función de estos mismos vectores. Podemos notar en la figura que el vector resultante estará incluido en el plano que forman los vectores B y C, cualquiera sea la dirección de A. Entonces, se puede descomponer al vector   en una componente paralela a B y otra paralela a C.

(1) 

Para facilitar la demostración primero se supondrá  ; luego la fórmula se ampliará de forma general. Por ahora, efectuamos producto escalar por el vector B en (1):

 

Aplicamos propiedad distributiva en el segundo miembro (recordemos que B.C = 0 por ser perpendiculares):

 

El primer miembro es un producto mixto y, como tal, puede intercambiar sus factores de esta manera:

 

Igualando las expresiones anteriores se tiene:

(2) 

El producto   da como resultado un vector en la misma dirección y sentido que C (ver figura). Si averiguamos el módulo de este producto obtenemos:

 

Como   es de dirección y sentido iguales a C, se puede expresar de la siguiente manera:

 

Identidad que, multiplicada escalarmente por el vector A, coincide con (2).

 

Para averiguar y se sigue un proceso análogo, en el cual se efectúa en (1) el producto escalar por el vector C:

 
 

En este punto cabe destacar una diferencia importante, que se deduce de la imagen. Nótese que el vector   es opuesto a B. Esto implica:

 

Reemplazamos x e y en (1) y obtenemos la fórmula de doble producto vectorial para B y C perpendiculares.

(*) 

Fórmula generalEditar

Considerando ahora un vector B, ya no necesariamente perpendicular a C, se puede descomponerlo en dos componentes diferentes, una perpendicular y otra paralela a C.

 

Se efectúa el doble producto vectorial y se lleva a la forma (*):

 

De modo que se puede desarrollar de esta manera:

 

Ahora, tenemos  . Reemplazamos en la fórmula anterior y desarrollamos.

 

   

 

Esta última identidad coincide con (*) y vale para cualquiera sean A, B y C.

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar

BibliografíaEditar

Enlaces externosEditar